Rubik y su cubo

El cubo de Rubik hace parte de las exhibiciones permanentes del Museo de Arte Moderno de Nueva York al lado de otras obras inmortales del arte contemporáneo. A primera vista el objeto parece inverosímil: un cubo cuyas caras giran de manera independiente sin que el conjunto se desmorone. En su interior no se observan engranajes, ni bandas elásticas ni imanes.

El maravilloso mecanismo se debe a Erno Rubik, arquitecto y diseñador húngaro. Según se dice, su inventor lo concibió a manera de herramienta didáctica para el ejercicio del razonamiento espacial. Un siglo antes, el excéntrico filósofo inglés Charles Hinton había intentado algo similar utilizando hipercubos de colores, aunque su propósito era harto más ambicioso: intuir la realidad de una cuarta dimensión. Pero el invento de Rubik, según testimonio de su autor, nació de la simple curiosidad, del reto de hallarle solución al dificilísimo problema de diseñar un cubo de caras móviles. “No podría decir que haya inventado el mecanismo, diría más bien que lo he descubierto”, manifestó alguna vez Rubik, como quien confiesa haberle robado a la naturaleza un secreto semejante al vuelo o a la locomoción.

No muchos están enterados de que el mismo diseño fue ideado de manera independiente por un ingeniero autodidacta cuyo nombre pocos habíamos oído mencionar, Terutoshi Ishigi, y que por esas injusticias del destino hoy no figura en el pedestal de la fama al lado de los grandes inventores del siglo XX. Y la ironía no termina allí, pues el rompecabezas es fruto de la serendipia: la idea surgió cuando el mismo Rubik, tras entremezclar las caras de su juguete, intentó llevarlo sin éxito a la posición original. La historia de cómo llegó a convertirse en el rompecabezas más vendido del mundo la resume así Tibo Laczi, el empresario que hizo de Rubik uno de los primeros millonarios en un país comunista: “Vi entrar a un hombre con apariencia de mendigo y de inmediato supe que tenía entre mis manos al gran genio, y le dije, ‘podríamos vender millones’”.

Los ocho vértices del cubo pueden ocupar 88.179.840 configuraciones diferentes. Para las aristas, este número es igual a 490.497.638.400. El producto de ambos factores supera los 43 trillones, y representa el total de configuraciones posibles. Si rotáramos sus caras de manera aleatoria, invirtiendo un segundo en cada movimiento, necesitaríamos más de 400 veces el tiempo transcurrido desde la creación del universo si quisiéramos recorrer todas las posiciones posibles. No obstante, cualquiera de los algoritmos conocidos permite “resolver el cubo”, partiendo de una posición arbitraria, en menos de cien movimientos. Los más económicos requieren entre 30 y 40 giros. Cualquier persona entrenada puede resolverlo en cuestión de minutos, y hay algunos, como el australiano Feliks Zemdegs, campeón mundial de “speedcubing”, capaz de hacerlo en menos de ocho segundos.

Pero el cubo es mucho más que un rompecabezas o un juego de destreza manual. Detrás del juguete inocente se esconde un objeto matemático de singular belleza e interés: las rotaciones de las caras pueden interpretarse como permutaciones, las cuales, bajo una ley natural de composición, conforman una estructura abstracta denominada “grupo”. Estas estructuras juegan un papel fundamental, no solo en las matemáticas, sino también en el estudio de la simetría molecular, en la clasificación de los cristales, en la mecánica cuántica, en la física de partículas, en la teoría de la relatividad…

Aunque el álgebra del cubo ha sido estudiada exhaustivamente, no fue hasta hace un par de años que se logró determinar el “diámetro” de su grupo, también apodado “número de Dios”, que se define como el máximo número de movimientos necesarios para ir de una posición arbitraria a cualquier otra. Apenas en julio de 2010, y tras un esfuerzo colectivo que involucró el equivalente a 35 años de trabajo continuo de una unidad central de procesamiento, o “CPU”, los matemáticos Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson y John Dethridge demostraron que el elusivo número divino era justamente 20. En particular, cualquier posición del cubo puede resolverse en veinte giros o menos. La posición más difícil, llamada en lengua inglesa “superfplip”, es aquella en la cual los vértices están en sus cubículos, correctamente orientados, pero las aristas, aunque ocupan sus respectivos lugares, se encuentran con sus colores invertidos. Para llegar a dicha configuración se requieren no menos de veinte movimientos. Se sospechó durante más de una década que este número era el mínimo, pero no fue hasta 1995 que se logró dar una demostración rigurosa. Hoy se conocen por lo menos 300 millones de posiciones igualmente difíciles, aunque el número exacto se ignora.

También hay quienes ven en el cubo una metáfora de la evolución. Existen programas de computador capaces de resolverlo imitando la naturaleza. Estos algoritmos ensayan al azar distintos movimientos, y luego escogen los “más adaptados”. Los criterios de aptitud suelen ser variados, aunque “mejor”, por regla general, significa mayor cercanía a la posición original de armado. La belleza de estos algoritmos estriba en su capacidad de improvisar nuevas estrategias, desconocidas la mayoría de las veces, incluso para sus mismos creadores. Algunos programas logran aprender de sus experiencias, y van enriqueciendo su “acervo cultural” a medida que descubren nuevos atajos.

Por supuesto existe una manera brutal de resolver el cubo: basta romperlo por la fuerza, separar las piezas y ubicarlas manualmente en sus posiciones. Es el método de la fuerza sobre la razón, como en la leyenda de Alejandro y el Nudo Gordiano (y hay quienes consideran ejemplar la solución del bárbaro). Por mi parte, preferiría un mundo donde hubiese más rubiks y menos alejandros.