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Klaus Ziegler 13 Mar 2013 - 11:00 pm

Los elusivos números primos

Klaus Ziegler

El peroné de un babuino, tallado hace más de doscientos siglos, registra lo que parece ser un antiquísimo calendario lunar.

Por: Klaus Ziegler
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    http://www.elespectador.com/opinion/los-elusivos-numeros-primos-columna-410087
    http://tinyurl.com/c955zvn
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El hueso, encontrado en la región de Ishango, cerca del nacimiento del Nilo, muestra tres columnas de pequeñas muescas asimétricas. En la columna izquierda se lee una lista de números primos, indicio de que algunas culturas del Paleolítico Superior ya los reconocían.

Podríamos decir que millones de años atrás la naturaleza también se había topado con el concepto. Impreso en el genoma de las cicadas periódicas de Norteamérica hay dos números primos. Cada 13, o 17 años, según la especie, estas cigarras brotan de los suelos, en nubes, por millones, para llenar el aire con sus coros estridentes. Su letargo interminable se ve por fin recompensado con una aventura amorosa tan impetuosa como fugaz. Tras el apareamiento, la calma regresa a la Tierra, los huevos eclosionan y las ninfas descienden de nuevo a sus sepulturas. A través de los siglos, las fuerzas ciegas de la evolución fueron depurando los ciclos vitales de estos insectos hasta suprimir sus divisores. La estrategia minimiza el número de coincidencias con los períodos reproductivos de sus depredadores.

Los primeros números primos, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,… pueden hallarse por simple inspección. Los que siguen se pueden encontrar utilizando el antiguo método de Eratóstenes y su criba. Pero, ¿qué tan lejos se extiende la sucesión? El libro IX de la monumental obra de Euclides contiene la respuesta: ¡hasta el infinito! La demostración de este hecho extraordinario es una verdadera joya de la cultura humana: si existiesen finitos primos, adicionando el número uno al producto de todos ellos se obtendría un número que no podría ser primo, pues es mayor que cualquiera en la lista. Pero tampoco es compuesto, pues deja residuo la unidad cuando se divide por cualquiera de ellos. De esta simple contradicción deduce Euclides su infinitud.

No obstante haya infinitos números primos, asunto muy diferente es saber cómo encontrarlos, pues aunque “crecen como maleza entre los números naturales, nadie puede predecir dónde brotará el siguiente”. En su obra, “Cognitata Physico-Mathematica”, el monje y filósofo francés Marin Mersenne compiló una lista que, según sus cálculos, contendría todos los posibles primos de la forma 2^p-1 (se eleva 2 a la potencia p, y luego se resta 1). Predijo que para los exponentes p= 67 y p = 257, el correspondiente número debía ser primo. Pero en octubre de 1903, en una de las charlas científicas más breves que se recuerden, el matemático estadunidense F.N. Cole se levantó de su silla, y sin modular palabra escribió en la pizarra: 2^67-1 = 193707721 x 761838257287. No hubo preguntas, solo un sordo aplauso; Mersenne se había equivocado.

Igualmente, 2^257-1 tampoco resultó ser primo. El teólogo franciscano también erró cuando omitió los exponentes 61, 89 y 107, que sí dan lugar a primos, y jamás sospechó que pudiesen existir en ese género monstruos de varios millones de cifras. A pesar de sus desaciertos, estos números llevan por siempre su nombre.

Hasta finales del siglo XVI, el primo más grande conocido era 2^19-1 = 524,287. En 1772, Euler encontró el más grande de su época, uno por encima de mil millones: 2^31-1. Para comienzos del siglo XX, y mucho antes de la era electrónica, el mayor primo conocido tenía apenas 39 dígitos. El primero con más de cien se vino a conocer en 1952. En 2008 se superó el récord de las diez millones de cifras, (2^37,156,667-1) una proeza que varios cazadores de primos, asociados bajo la organización GIMPS (“Great Internet Mersenne Prime Search”), vieron recompensada con un premio de 100,000 dólares. Esta misma organización anunció el 25 de enero de este año el primo más grande conocido por la humanidad: un monstruo de Mersenne, 2^57,885,161-1, cuyas cifras escritas (más de 17 millones) ocuparían seis volúmenes de mil páginas cada uno.

Hasta la fecha solo se conocen 48 primos de Mersenne. Nadie sabe si hay infinitos. De ahí que nadie sepa tampoco si existen infinitos números perfectos, es decir, números iguales a la suma de sus divisores propios. Por ejemplo, 6 es perfecto, ya que sus divisores propios son 1, 2, 3, cuya suma es precisamente este mismo número. Alrededor del año 300 a.C., Euclides demostró que todo número de la forma (2^p-1)x2^(p-1), cuando el primer factor es primo, es un número perfecto (por ejemplo, para p=3, (2^3-1)x2^2 = 28 es perfecto). Siglos más tarde, Euler probó que cualquier número perfecto par debía tener esa forma.
Hoy sabemos cómo pudo haberse originado el universo y podemos estimar sus dimensiones. Hemos descifrado el genoma de varias especies, incluyendo la nuestra. Tenemos una buena idea del árbol de la vida, desde las primeras procariotas termófilas hasta el Homo sapiens. Pero aún desconocemos si hay números perfectos impares. También ignoramos la solución al dificilísimo problema que Goldbach planteara en una célebre carta dirigida a Euler, en 1742, en la cual le pregunta por la demostración de una observación tan elemental que hasta podría haberla hecho un niño: todo número par es la suma de dos números primos (1 se consideraba primo en aquella época). La pregunta, a pesar de su simpleza, constituye una de las cuestiones más inaccesibles de las matemáticas, y quizá de toda la ciencia.

Preguntas como la formulada por Goldbach podrían estar situadas más allá de los confines de lo cognoscible. Desde Gödel, los matemáticos saben de la existencia de proposiciones “indecidibles” en cualquier formalismo lo suficientemente rico como para describir las propiedades de los números enteros. Esto significa que cualquiera de esos sistemas axiomáticos alberga proposiciones que no se pueden probar dentro del sistema mismo, y cuyas negaciones son así mismo indemostrables. Cabe preguntar si el mismo problema planteado por Goldbach podría caer en uno de esos limbos matemáticos, es decir, si pudiera ser una proposición indecidible. Por paradójico que parezca, de probarse indecidible se estaría demostrando con ello, y de manera indirecta, la afirmación misma, pues en particular se habría probado que la negación de la afirmación “todo par es suma de dos primos” es indemostrable. Luego nadie jamás podría exhibir un número par que no fuera suma de dos primos, pues esto último es ciertamente demostrable en la aritmética elemental (basta listar todos los primos menores que el supuesto par, y luego verificar que la suma de cada par de primos no coincide con él). El razonamiento anterior no demuestra que la afirmación de Goldbach no pueda ser indecidible, solo que si lo fuera nunca lo sabríamos.

Tal vez exista una región inexpugnable del mundo platónico habitada por proposiciones elementales, no obstante inasibles para cualquier inteligencia concebible en el universo. Quizá la realidad misma de ese mundo etéreo no sea más que otra ilusión de nuestra mente.

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klaus ziegler

Sab, 04/06/2013 - 10:18
Discrepo de nuevo. Valga esta otra aclaración. I) Cuando afirmo que una determinada fórmula R de PA es “cierta”, quiero decir (en mi comentario anterior preciso el uso de la palabra) que R se satisface en N, el modelo estándar de los números naturales. II) En segundo lugar, “demostrable” e “indecidible” son conceptos relativos, no absolutos, que hacen referencia a una determinada teoría. Una fórmula R es demostrable en una teoría F, (o teorema de F), lo que usualmente se denota por F?R, si existe un texto demostrativo de R en F. La fórmula R se llama “indecidible en F”, si ambas fórmulas R, ¬R no son teoremas de F. III) La sentencia de PA, que llamé G: (?x>1)B(x), en la cual B(x) es la fórmula en el lenguaje de PA “existen primos p y q que satisfacen 2x = p+q”, expresa de manera intuitiva el contenido de la conjetura de Goldbach. Sin embargo, y esto es un punto esencial, demostrar la conjetura de Goldbach significa demostrar (digamos, en ZFC) que G se satisface en el modelo estándar de la aritmética, no que G sea un teorema de PA. Esto último es un enunciado mucho más fuerte que la conjetura misma, pues PA?G es equivalente a que G se satisfaga en todos los posibles modelos de la aritmética. Es decir, que aun para pares y primos “no estándar”, todo par mayor que 2 resulte ser suma de dos primos, lo cual bien podría ser falso en esta generalidad. De manera precisa, si CG es la sentencia (expresada debidamente en ZFC) que afirma: “G se satisface en N”, demostrar Goldbach en F= PA o en F= ZFC significa ver que CG es teorema de F. Denotaré por Ind(CG) la sentencia que expresa (en ZFC) "CG es indecidible en ZFC". Una vez realizadas estas precisiones analicemos el contenido de las dos afirmaciones “célebres”: A) "…de probarse indecidible (Goldbach) se estaría demostrando con ello, y de manera indirecta, la afirmación misma”. En lenguaje preciso, la afirmación corresponde a la implicación: ZFC?Ind(CG) ? CG B) "El razonamiento anterior no demuestra que la afirmación de Goldbach no pueda ser indecidible, solo que si lo fuera nunca lo sabríamos". En lenguaje preciso, no puede demostrarse ind(CG) en ZFC (suponiendo, evidentemente, la consistencia de ZFC). Prueba de (A): Supongamos ZFC? Ind(CG), es decir, supongamos CG es indecidible en ZFC, y veamos que CG es un teorema de ZFC. Es decir, demostremos que G se satisface en N, lo que equivale a demostrar ZFC? B(n), para todo n>1 (PA puede interpretarse en ZFC). Si este no fuera el caso, es porque existiría un natural m>0 (en el modelo estándar), para el cual ZFC? ¬B(m). Ahora, al suponer CG indecidible, la teoría ZFC+CG también sería consistente (sin pérdida de generalidad podemos suponer la consistencia de ZFC, pues en caso contrario CG sería demostrable en ZFC de manera automática). Pero en ZFC+CG es teorema B(m) (de hecho, ZFC+CG? B(n), para todo n>1). Luego en ZFC+CG son teoremas ¬B(m) y B(m), lo cual contradice la consistencia de ZFC+CG. Del absurdo concluimos ZFC? B(n), para todo n>1, y en consecuencia ZFC?CG. Prueba de (B): si ZFC es consistente no puede darse que ZFC?Ind(CG), pues como ZFC?Ind(CG) ? CG, se seguiría ZFC?CG, y CG no sería indecidible en la teoría de conjuntos. Es posible, no obstante, que CG fuera indecidible, pero no lo podríamos “saber" (demostrar) en las matemáticas (ZFC) como hoy las conocemos. Sentencias como las de Goldbach reciben el nombre de “Goldbach-like sentences” y han sido estudiadas ampliamente por los lógicos. Una excelente referencia es el texto “Gödel´s Theorem, an incomplete guide to its use and abuse”, de Torkel Franzén. Allí puede leerse: “…the proof of the undecidability of Goldbach’s Conjecture in PA would at the same time be a proof of the conjecture. There is nothing impossible about that situation…”, (página 22). Lo escrito en este comentario (espero sea correcto, pues no soy lógico de profesión) es un modesto intento por justificar dicha afirmación, que aparece allí sin demostración.
Opinión por:

klaus ziegler

Sab, 03/30/2013 - 15:06
En mi columna "Los elusivos números primos" hago una afirmación que ha dado pie a todo tipo de especulaciones y malentendidos, como los que aquí pueden leerse (ejemplo, la “reflexión” de Semana Santa del señor “Perogrullo”, que corresponde a lo que él alcanza a inferir de mi argumento, asunto muy diferente de lo que afirmo en mi columna). Presento la siguiente aclaración para todos aquellos con una formación mínima en lógica matemática. En la columna mencionada trato de explicar que si se demostrara que la célebre conjetura de Goldbach (que denotaré por G, y la cual afirma que todo par es suma de dos primos) fuera indecidible en PA (por PA denotaré el sistema formal de primer orden de la Aritmética de Peano, véase por ejemplo Mendelson E., Introduction to mathematical Logic, 3th Edition, página 117) entonces sería cierta, en el sentido de que nadie podría exhibir nunca un contraejemplo a la misma. Afirmo allí que: Si G fuese indecidible en PA (dicha prueba, se presenta, digamos, en la teoría de conjuntos ZFC) entonces no es posible construir un contraejemplo a Goldbach en PA. Comencemos por precisar los términos. En primer lugar, y para efectos de simplificar la discusión, por número primo entenderé cualquier entero divisible solo por sí mismo y por la unidad (incluyo el número 1, aunque esta no sea la convención usual). Recordemos que en PA, el numeral n denota aquel término del lenguaje que consiste del símbolo constante cero 0 seguido del símbolo sucesor repetido n veces. Así, por ejemplo, 3 denota el término 0???. Denotaré por G a la sentencia (?x)B(x), donde B(x) es la fórmula que afirma "existen primos p y q tales que 2x=p+q" (La fórmula B(x), aunque expresada en lenguaje informal, puede fácilmente expresarse formalmente en el lenguaje propio de PA). Recordemos que G indecidible en PA significa que G no es demostrable en PA, y que ¬G (la negación de G) tampoco lo es. En este caso cualquiera de las dos sentencias (pero no ambas) podrían adjuntarse a los axiomas de PA preservando su consistencia. En lo que sigue, supondré que PA es en efecto consistente (lo cual no puede demostrarse en PA, en virtud del Teorema de Gödel, pero sí en ZFC, Zermelo Frankel + axioma de elección, utilizando, por ejemplo, la teoría de ordinales [Mendelson]). El razonamiento elemental que presento en el artículo podría resumirse de la siguiente manera: pensemos que alguien demuestra hoy (correctamente) que G es indecidible en PA. ¿Qué ocurriría si un matemático dentro de cien años nos asegura haber encontrado un enorme número par el cual no es suma de dos primos? Pues, entonces, podríamos estar seguros de que este matemático tendría que estar equivocado. Si, demos por caso, nos dijera que tal número es 1555772x10^100, entonces una prueba de que este par no es suma de dos primos podría hacerse sumando todos los posibles primos menores que dicho número, y luego bastaría verificar que cada suma no es igual a dicho número. En consecuencia, una demostración formal en PA de la negación de Goldbach consistiría de finitas sentencias de la forma 1+1?1555772x10^100, 1+2?1555772x10^100, 2+2?1555772x10^100, 2+3?1555772x10^100,…, y así hasta agotar todas las finitas parejas de primos menores que 1555772x10^100. Pero ya sabíamos que tal demostración es imposible (puesto que G se había demostrado indecidible en PA), por tanto el supuesto contraejemplo deberá estar errado. Ahora bien, si nadie nunca podrá exhibir un contraejemplo, entonces podemos estar seguros de que cualquier entero par que revisemos hoy, o dentro de mil siglos, será con seguridad suma de dos primos, ¡tal y como sospechaba Goldbach! De manera formal, la proposición sería la siguiente: Proposición Si G es indecidible en PA, entonces no puede existir una numeral n con la propiedad de que ¬B (n) es teorema de PA (no existe un contraejemplo a Goldbach en PA). Demostración Supongamos, razonando por el absurdo, que en efecto existe n tal que ¬B (n) es teorema de PA. Como G es indecidible, ¬G no es un teorema de PA (esto bastaría para la prueba). Luego la teoría PA+G, que se obtiene adjuntando a los axiomas de PA la sentencia G:(?x)B(x), también sería consistente. Pero para cualquier numeral n, (?x)B(x)?B(n) es siempre un teorema (axioma del cálculo de predicados). Luego en PA+G, las sentencias ¬B(n) y B(n) serían ambas teoremas, lo que viola la consistencia de PA+G, contradicción que demuestra la proposición. Observaciones I. Para cada entero fijo n, la sentencia B(n) es siempre decidible. Bastaría comprobar si existen primos p, q menores que 2n (solo hay finitos) tales que 2n = p+q, en cuyo caso B(n) sería teorema de PA. Si, por el contrario, para cada par p, q se cumple que p+q?2n, entonces ¬B(n) sería teorema. II. La proposición anterior podría generalizarse en caso de poderse demostrarse que PA+G y PA+¬G son teorías ?-consistentes (esto significa que para todo fórmula A(x) con variable libre x, entonces no puede ocurrir que las sentencias A(n), para todo numeral n, y ?x¬A(x), sean todas teoremas de PA). En esta situación, G nunca podría ser indecidible en PA. En efecto, distingamos dos posibles casos: 1) Para cada numeral n, B(n) es teorema de PA. 2) Existe un numeral n tal que B(n) no es teorema de PA (por la observación anterior, ¬B(n) deberá entonces serlo). En el primer caso, B(n), al ser teorema de PA, también lo sería en PA+¬G (esto es obvio). Pero ¬G es la sentencia (?x)¬B(x). Esto implicaría que en PA+¬G, las (infinitas) sentencias B(n) y (?x)¬B(x) son todas teoremas, y en consecuencia PA+¬G no sería ?-consistente. Luego este primer caso no puede ocurrir. En el caso (2) (que ya discutimos en la prueba de la proposición anterior), ¬B(n) también sería teorema de PA+G, lo que ya vimos lleva a una contradicción. Este curioso fenómeno es propio de ciertas afirmaciones de PA, aquellas para las cuales de existir un contraejemplo este tendría un carácter constructivo, lo que no ocurre con otras sentencias. Y esta es la mayor confusión (entre varias) del señor Perogrullo, quien no parece percatarse de que el argumento anterior no es válido para cualquier sentencia, y cree que estoy insinuando que si una sentencia se demuestra indecidible entonces tiene que ser cierta. Por ejemplo, un "contraejemplo" a la Hipótesis del Continuo (HC) no puede tener este carácter constructivo (aquí por contraejemplo quiero decir un elemento apropiado de un modelo de ZFC+¬HC). De hecho, HC es en efecto indecidible en ZFC. Así mismo el axioma de elección es indecidible en ZF y la celebre sentencia de Gödel lo es PA.
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Perogrullo

Jue, 04/04/2013 - 10:40
Último comentario. 1. Contundente el argumento de KZ para sustentar que “si se demostrara que la conjetura de Goldbach (CG) fuera indecidible en PA entonces sería cierta“. Ninguna contradicción hay en tal conclusión: desde Gödel se sabe que existen proposiciones verdaderas que son indecidibles. Más aún, en un comentario de esta columna, otrobernal dejó un enlace en el que se demuestra lo mismo como consecuencia de que todo enunciado universal indecidible en PA es verdadero. 2. Lo dicho en 1 es, en mi entender, distinto de la afirmación que hizo el señor Ziegler en su columna: “de probarse indecidible (CG) se estaría demostrando (…) la afirmación misma”: es absurdo demostrar algo indecidible; esa fue la razón de mi discusión. 3. Creo que con las aclaraciones 1 y 2 se cierra este debate.
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leinadsajor

Sab, 03/30/2013 - 18:06
Ojala sea ud el señor Ziegler realmente y no sea éste un seudónimo. Muchas gracias por tomarse el tiempo de escribir la explicación puesto que, para ser justos, la confusión inicialmente fue mía y no de "Perogrullo". Le agradezco, porque me ha dado mucho en que pensar, espero en las próximas semanas escribir algo al respecto. Tenga en cuenta que yo como lector al escribirle "Creo que la embarró", no lo dije en el sentido de afirmarlo con vehemencia, sino más bien en el sentido de tener la duda, esperando que alguien pudiera aclararme. Tenía, como ud bien lo dice, la duda de que se pudieran extender los números enteros, tal como en el caso del axioma de las paralelas de Euclides, pero ahora he visto que no se puede.
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klaus ziegler

Sab, 03/30/2013 - 15:21
Errata: En el texto anterior debí decir (?x,x?0)B(x) y n>0 (hay que excluir el cero).
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Perogrullo

Jue, 03/28/2013 - 04:54
Reflexión de Semana Santa: después de una abstinencia de dos semanas, releer el penúltimo párrafo de K es toda una delicia (los lógicos deben estar de plácemes). Contiene, entre otras cosas “interesantes”, un “teorema”, su “demostración” y una “frase célebre”. Teorema (de K). Si se prueba que P es una proposición indecidible entonces se ha demostrado (indirectamente) P. Demostración (de K). Como P es indecidible entonces su negación también es indecidible, luego nadie jamás podrá negar P, lo cual demuestra (indirectamente) P. Frase célebre: si la afirmación de Goldbach fuera indecidible nunca lo sabríamos.
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Gaturria

Sab, 03/16/2013 - 20:10
Releyendo la columna, veo que Ziegler no afirma que la conjetura de Goldbach sea indecidible, sino que cabe preguntarse si lo es. Eso hacemos y parece que no vamos a llegar a ningún lado. No se sabe si es indecidible?!!
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leinadsajor

Dom, 03/17/2013 - 19:41
Gaturria de pura chiripa me encontré con su comentario, pues se me abrió esta columna cuando quería abrir otra. Y yo estoy de acuerdo con ud en que Ziegler es de lo mejor que tiene El Espectador. Además a mi me gusta cuando escribe sobre escepticismo o la Iglesia, pero por la reacción habitual de los lectores es obvio que se molestan bastante. Independiente de si la embarró Ziegler o no, yo también me llevé un montón de reflexiones. Mis dudas siempre tengo que agradecerlas, sobre todo porque después de resolverlas salgo un poco menos ignorante. Saludos Gaturria.
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Gaturria

Sab, 03/16/2013 - 20:07
Oiga Daniel, malo cuando K. Ziegler habla de escepticismo y malo cuando habla de matemáticas? O si no, por qué dice que la embarró? Para mí, él es uno de los columnistas más serios de este diario. Esta columna me ha dejado profundas reflexiones y es un placer tener que pensar en estos temas.
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Perogrullo

Vie, 03/15/2013 - 01:34
Jkgh: “indecidibilidad” tiene varias acepciones; una es la que usted menciona, computacional; otra la que usa y explicita K en el penúltimo párrafo: indecidibles son “proposiciones que no se pueden probar dentro del sistema mismo, y cuyas negaciones son así mismo indemostrables”. Con esta aclaración, encuentro “fatal” ese penúltimo párrafo: i) “de probarse indecidible (la conjetura de Goldbach (CG)) se estaría demostrando (¿?) la afirmación misma” (¿?); ii) “esto último (la negación de C.G) es ciertamente demostrable en la aritmética elemental”; ergo, ¡no es indecidible! iii) K ¡lo demuestra!: “basta listar todos los primos menores que el supuesto par, y luego verificar que la suma de cada par de primos no coincide con él”. ¡Qué candor!: ¿y el cuantificador involucrado?
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Perogrullo

Vie, 03/15/2013 - 02:18
Ofrezco disculpas a K, y a quien haya leído el comentario anterior, por lo que expresé en ii y iii. ¡Qué mal lector!: ahora veo claro que con la expresión “esto último”, K se refiere a un hipotético contraejemplo y no a la negación de la CG, así su redacción no haya sido la más afortunada.
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darojas53

Jue, 03/14/2013 - 22:06
Las columnas serias generan foros serios. Me gusta K. Z.
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Sky_Voyager

Jue, 03/14/2013 - 21:33
Hmmm ... excelente columna de Matemático para Matemáticos ... lo único que creo poder anotar es que el tema de los números primos y el hallar números primos tan grandes como el Monstruo de Mersenne con mas de 17 millones de cifras adquirió una importancia fundamental práctica en la actualidad dentro del desarrollo de la Criptografia o algoritmos de codificación de información cifrada, de gran aplicabilidad en las transacciones bancarias y transmisión de información secreta para espionaje en las grandes potencias, ya que permite codificaciones que tardarian millones de años en ser descifradas. De ahi el interes de los matemáticos y criptografos de las grandes potencias en estudiar estos cripticos temas ...
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jkgh

Jue, 03/14/2013 - 15:09
Creo que en los comentarios y en la columna hay una confusión entre los conceptos de incompletitud y de indecidibilidad. La incompletitud de Gödel se refiere a sistemas axiomaticos consistentes, en los que existen afirmaciones que son verdaderas pero que no se pueden probar. La discusión de daniel rojas, habla sobre este concepto. La indecidibilidad se refiere a problemas decisión (donde la respuesta es Si o No) para los cuales no existe procedimiento que llegue a una respuesta en un número finito de pasos. Los dos conceptos son relacionados, e incluso pueden verse como versiones distintas del mismo concepto. Pero la indecidibilidad es un concepto computacional (¿Se puede hallar una respuesta al problema de decision P en un numero finito de pasos?)
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 17:12
Jkgh por supuesto que no son el mismo concepto. Y todo el tiempo he aludido a la indecidibilidad y no a la indemostrabilidad, al igual que el columnista. Para que vea ud que el columnista también está hablando de indecidibilidad y no de indemostrabilidad: si P= la conjetura de Goldbach es indemostrable, entonces la demostración de P no demuestra que la conjetura de Goldbach sea verdadera (puesto que la veracidad de P no nos dice nada acerca de la veracidad de la conjetura de Goldbach). Es decir, Ziegler está hablando de Indecidibilidad no de indemostrabilidad. Por indecidibilidad de una preposición entiendo una afirmación cuyo valor de verdad no puede ser demostrado por medio de una teoría axiomática. Es decir si ud acepta la frase indecidible como cierta o falsa, no encuentra contradicciones con respecto a los demás axiomas (y los resultados derivados de ellos). Claramente, indecidibilidad implica entonces indemostrabilidad (uno no puede demostrar frases indecidibles). Lo contrario, que la indemostrabilidad implique indecidibilidad es falso (ya que se pueden encontrar frases verdaderas que sean indemostrables). Por lo tanto debe leerse de Ziegler lo siguiente: si P= la conjetura de Goldbach es indecidible, entonces la demostración de P demuestra que la conjetura de Goldbach es verdadera. ¡Lo cual todavía estoy masticando! Aunque creo que la solución está, o, en lo que dice OtroBernal (demostrar P es imposible, porque P misma es indecidible), o que existan dos conjuntos diferentes de números enteros, como en el caso de las diferentes geometrías cuando se modifica el postulado de las paralelas de Euclides.
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jkgh

Jue, 03/14/2013 - 15:15
con improbable quise decir indemostrable
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jkgh

Jue, 03/14/2013 - 15:14
es decir, a lo que se refieren el columnista y los comentaristas no es si el problema es indecidible, sino si la proposición es improbable. Parecen ser el mismo concepto, pero no lo son.
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Patecaucho Cibernético

Jue, 03/14/2013 - 11:49
Confieso que infortunadamente soy un asno para los números pero áun así leí toda la columna, entendí poco, pero soy consciente que para un matemático la columna de hoy debe ser todo un crumpet.
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 11:09
¿Por qué hay abiertos dos foros de esta columna, ya van varias veces que pasa?
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Contradictor

Jue, 03/14/2013 - 10:06
El "primo" más grande de que yo tenga noticia es Irragorri Hormaza que lleva más de 40 años mamando en el Congreso.
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 10:14
Ufff que apunte tan importante, tan relevante para este foro. ¿Como Davivienda?....
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 09:06
Me acuerdo que algunos foristas le reclamaban a Ziegler que se "repitiera" en los temas de sus columnas, y juzgando por el número de participaciones de hoy en el foro la gente es más activa cuando se toman temas de la iglesia, o cuando Ziegler educa en torno al escepticismo. No es sino echarle una ojeada a la columna sobre el cubo de Rubik para darse cuenta que efectivamente son más populares los temas repetitivos, que los novedosos.
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ovejanegra

Jue, 03/14/2013 - 22:34
Por mi parte, como no tengo formación matemática, estoy aquí de espectadora (como Usted dice, empezando a masticar), pero con la conexiones alerta porque estos temas me apasionan. Qué bueno sería que esas multitudes que mantienen el cerebro empolvado, activaran sus sinapsis, a ver si avanzamos hacia otro tipo de discusiones inteligentes. Gracias por los aportes. !
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otrobernal

Jue, 03/14/2013 - 10:39
Y ni hablar de la cantidad de comentarios que ve uno en las columnas de Palomita o "el troll" Macías. Todo el mundo sabe qué escriben y por qué lo escriben, mas no por eso dejan de meter la cuchara y el palo en los respectivos foros. Es que con el número de comentarios de una columna pasa lo mismo que con el número de ejemplares vendidos de un libro o con el famoso índice citacional: suele tomarse por indicador de calidad literaria, cuando es más que todo un termómetro de modas y pasiones.
Opinión por:

mrtorturex

Jue, 03/14/2013 - 09:05
Amonoi, gracias por la bibliografia, ya descargué el libro...
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 09:12
Mr Torturex, le recomiendo la serie de historia de las matemáticas de Marcus Du Satoy de History channel, intente conseguirla en español latino, pero es casi imposible. http://www.youtube.com/watch?v=KyORBGrvlyM .Es la primera parte de "la música de los números primos".
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Amonoi

Jue, 03/14/2013 - 08:17
Podemos considerar que los números primos están compuestos "de una sola pieza", mientras los compuestos lo está "de varias piezas". Si pudiéramos ver esto, veríamos que los primos son claros y fácilmente distinguibles y los compuestos son borrosos, pues se compondrían de la superposición de primos. Lo asombroso del caso es que así los debe ver Daniel Tammet, un autista inglés que ve formas, texturas y colores donde los demás vemos números. ha escrito cuatro libros donde narra su visión de las cosas. Otro libro interesante sobre el tema es "el tio Petros y la conjetura de Goldbach", que se puede bajar de internet.
Opinión por:

otrobernal

Jue, 03/14/2013 - 22:58
Le recomiendo que lo haga, ya que le apasiona el tema; es divertido y más accesible de lo que uno a veces piensa. Lo importante es estudiar con un libro amigable, de esos que los matematicos más lámparas llaman "blandos", porque hay unos dirigidos a expertos muy entrenados que no tienen clemencia y así no se puede (bueno, al menos yo no puedo). La reconstrucción seguramente sería mucho más enriquecedora que cualquier cosa que pudiera balbucear por acá.
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 22:49
OtroBernal, para que pueda pegar sus comentarios los puede escribir en cualquier procesador de texto y en Mozilla (en ningún otro explorador me funciona el truco), pone editar y lo pega.
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 22:45
No Otro Bernal. No lo he hecho por mi propia cuenta, a pesar de que he visto cursos de matemáticas de teoría de conjuntos y lógica, nunca me enseñaron los teoremas de incompletitud de Gödel. Sin embargo, además del tío Petros y la conjetura de Goldbach, hay un libro que leí que se llama Gödel para todos, de Guillermo Martinez. El libro es una primera aproximación a los teoremas de Gödel, me imagino que para cualquier persona no experta debe ser muy bueno, además de estar muy bien escrito.
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otrobernal

Jue, 03/14/2013 - 22:37
Ach qué pena Daniel, había empezado a escribirle una réplica, esto se tostó y ya me dio piedra escribir de nuevo. Igual tampoco hacía mucho más que manifestar mi confusión así que... Una última cosa, ha hecho antes el ejercicio de reconstruir la prueba del teorema de indecibilidad de Gödel?
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 22:18
DaRojas lo que pasa es que yo uso más la palabra premisa, que proposición, gracias por la corrección. Se me revuelven las cosas. A Otrobernal no sé como responderle, porque si ud tiene razón entonces no pueden haber dos conjuntos con leyes diferentes. Lo bueno de la ciencia es que siempre hay preguntas por respondes. Yo sólo especulo una posibilidad como la que ocurre en geometría, cuando uno niega el axioma de las paralelas (un axioma independiente de todos los otros, y por lo tanto indecidible) surgen otras geometrías, quizás surjan otro tipo de enteros (es sólo especulación). Obviamente como es solo especulación, no puedo estar seguro.
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 22:10
Ufff Claro que sí DaRojas, tiene toda la razón, aquí el que se pasó de ignorante fuí yo!
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darojas53

Jue, 03/14/2013 - 22:10
Corrijo: Usted no habla de una preposición, sino de una proposcición.
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darojas53

Jue, 03/14/2013 - 21:57
Leindasajor, yo soy un ignorante, pero creo que usted un habla de una preposición sino de una proposición.
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otrobernal

Jue, 03/14/2013 - 21:21
Ah, creo que acabo de entender qué quería decir cuando se metió con geometría. Para corroborar, le pregunto si Gödel por si solo no es suficiente para probar que "pueden existir otros enteros" en el sentido que usted le da a esa expresión.
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otrobernal

Jue, 03/14/2013 - 20:46
Me parece que se está confundiendo. Una teoría consta, entre otras cosas, de ciertas proposiciones que la teoría define como verdaderas, llamadas axiomas. Una proposición se dice indecidible dentro de una teoría dada si no se puede probar dentro de esa teoría. Los axiomas de una teoría son trivialmente demostrables en la teoría misma. Tal es el caso del postulado de las paralelas en geometría euclideana, donde es introducido como axioma y por tanto no es indecidible sino trivialmente verdadero. En otras geometrías ese postulado no aparece como axioma, lo que abre la posibilidad de que en ellas sea indecidible (no conozco ejemplos) o simple y llanamente falso. [...]
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 15:31
Sí, creo que esa es una manera de salirse del "Conundrum", aunque hay otra forma de mirar el problema, a manera de ejemplo lo que pasa con otras preposiciones Indecidibles. Por ejemplo el quinto postulado de Euclides, o el postulado de las paralelas. Este postulado es independiente de los demás, lo que lo hace indecidible. Y pues ya se sabe con certeza que adoptar otros postulados que lo contradigan da como resultado otro tipo de geometrías. Osea que si en últimas alguien logra demostrar que la tal conjetura es indecidible, es porque pueden existir otro tipo de números enteros. Aunque por el momento todo esto es especulación.
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otrobernal

Jue, 03/14/2013 - 14:37
En este caso no se puede probar que A es indecidible. Dicho de otra forma y tal vez abusando un poco, la proposición "A es indecidible" es indecidible.
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 13:22
Parece contradictorio que si se adopta la preposición A, como axioma, entonces no puede existir un contraejemplo. Por lo que nunca puede ser A, falsa. Creo que ese es el punto. ¡Pero si con ello demostramos que A es verdadera, entonces contradecimos que es A era indecidible!, me tiene pensando ese acertijo toda la mañana. Me imagino que la solución va por el lado de generar dos conjuntos de números diferentes.
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 13:14
Veamos si entiendo lo que quiere decir Ziegler con que si es indecidible implica que es cierta. Supongamos que la preposición A es indecidible. Esto quiere decir que la puedo anexar como un axioma, en donde A es verdadera. Eso quiere decir que en ese caso, no existe un contraejemplo para demostrar la falsedad de A. Como no existe ningún contraejemplo que niegue a A entonces A debe ser cierta. Ahora supongamos que tomamos la negación de A como axioma (y llamémosla -A). En ese caso los números naturales serían distintos de los números naturales originados por los axiomas de Zermelo-Fraenkel, junto con A. Es decir abrían dos conjuntos de números diferentes, en ese caso con dos teorías consistentes sobre sus respectivos números (unos con A cierta, otros con -A cierta).
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otrobernal

Jue, 03/14/2013 - 12:05
Creo que el quid del asunto va a la diferencia entre proposiciones universales y no-universales. Toda proposición universal indecidible en aritmética es necesariamente verdadera, no sucede lo mismo con las otras. Vea mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=193&threadID=435233&messageID=1376382
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leinadsajor

Jue, 03/14/2013 - 09:00
Creo que Ziegler la embarró. Lo que yo entiendo cuando uno llega a una preposición del tipo indecidible es que uno puede tomar esa preposición (o su contraria), como axioma sin que por ello la teoría se altere. El mejor ejemplo de ello es la hipótesis del continuo, la cual dice que la entre la cardinalidad de los reales y los números enteros hay algún número cardinal intermedio (parroquialmente, a pesar de que el infinito de los reales es mayor que el de los enteros, no hay un infinito en el medio de los dos). Por un lado Gödel acepta el axioma del continuo y no encuentra ninguna contradicción, mientras que Paul Cohen acepta el axioma contrario al del continuo sin encontrar tampoco contradicciones. Es decir que si la frase es realmente indecidible, no se demuestra la afirmación.
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