Por: Klaus Ziegler

De San Anselmo a Murphy

Las paradojas lógicas podrían ser tan antiguas como el lenguaje mismo.

Sin embargo, fueron los griegos (al menos en Occidente) los primeros en pasar del simple asombro al análisis metódico de esas contradicciones desconcertantes. Al hablar de antinomias viene a la mente aquel cretense que afirmaba: “todos los cretenses son mentirosos”. ¿Dice el hombre la verdad o, por el contrario, miente?

A Eubulides de Mileto, filósofo de la escuela megárica, se le atribuye esa célebre paradoja, conocida como “paradoja del mentiroso”. Platón y Aristóteles también la mencionan entre varias otras antinomias. “Esas formas de perder el tiempo”, en palabras de Séneca, serían el incentivo para la creación de la magnífica Teoría de Tipos, sin duda, la mayor contribución de Bertrand Russell a la lógica.

En el capítulo LI de El Quijote, Cervantes se regocija recreando en su novela una vieja paradoja. Siendo Sancho gobernador de la ínsula Barataria, y estando presentes el mayordomo y los demás acólitos, un forastero lo interroga de esta forma: “Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío, y esté vuestra merced atento, porque el caso es de importancia y algo dificultoso... Digo, pues, que sobre este río estaba una puente, y al cabo della una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del río, de la puente y del señorío, que era en esta forma: ‘si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar, y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna’.

Sabida esta ley y la rigurosa condición della, pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que decían verdad y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que tomando juramento a un hombre juró y dijo que para el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí estaba, y no a otra cosa. Repararon los jueces en el juramento y dijeron: ‘Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento, y conforme a la ley debe morir; y si le ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca, y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre’. Pídase a vuestra merced, señor gobernador, qué harán los jueces del tal hombre, que aún hasta agora están dudosos y suspensos…”

Cervantes se deleita haciendo de Sancho la víctima de un acertijo insoluble. Y se burla de su escasa inteligencia al poner en boca suya una solución ridícula: “Digo yo, pues, agora —replicó Sancho— que deste hombre aquella parte que juró verdad la dejen pasar, y la que dijo mentira la ahorquen, y desta manera se cumplirá al pie de la letra la condición del pasaje”.

La robustez semántica del lenguaje corriente lo convierte en terreno fértil para toda clase de contradicciones y absurdos. La definición misma de omnipotencia, para mencionar un ejemplo notable, encierra de inmediato una contradicción: el dios omnipotente de las religiones judeocristianas no podría concebir una pregunta tan intrincada que él mismo no fuera capaz de responder. O, como es costumbre objetar, Dios jamás podrá crear una piedra tan pesada que no pueda levantarla.

A San Anselmo de Canterbury le debemos una variación ingeniosa de la misma antinomia, esta vez para demostrar ¡nada menos que la existencia de de La Divinidad! Este es su razonamiento: la Divinidad, entre sus infinitas cualidades superlativas deberá gozar de la perfección suprema. Pero el atributo de la existencia invariablemente eleva el grado de perfección. Ergo Dios debe existir, pues de otra forma no sería en grado sumo perfecto, como exige su propia definición.

No se trata de una fabricación burda, ni de una petición de principio. Para dar un ejemplo, si quisiéramos demostrar la existencia de los unicornios no sería suficiente incluir en la definición de esa bestia el atributo mismo de su existencia. No fueron pocas las líneas que filósofos de la talla de Descartes, Leibniz o Kant dedicaron a su análisis. Un argumento similar fue propuesto por Kurt Gödel, en esencia, una versión en lógica modal del razonamiento de San Anselmo. Sin embargo, comparto el consenso de los pensadores contemporáneos cuando señalan un grave inconveniente en el ingenioso silogismo del filósofo escolástico. Cuando se habla de “suprema perfección” se está haciendo referencia a una noción tan carente de significado como podría ser el concepto de “supradelicioso”, definido como aquel manjar con el mejor sabor concebible. La enorme flexibilidad de las construcciones lingüísticas permite la aparición de juegos de lenguaje, de verdaderas pareidolias verbales.

Numerosas paradojas lógicas tienen su origen en declaraciones autorreflexivas, es decir, en sentencias que afirman algo de sí mismas. Russell propone una antinomia que involucra dos conceptos semánticos contrapuestos: autológico y heterológico. Un adjetivo es autológico si se califica a sí mismo: Por ejemplo esdrújula, polisílaba, grave, son ejemplos de adjetivos autológicos, ya que "esdrújula" es una palabra esdrújula, mientras que “polisílaba” es polisílaba, y la palabra “grave” es grave, por tener el acento en la penúltima sílaba. Los adjetivos en la categoría opuesta se denominan heterológicos: cálido, frío, hermoso, deleznable, atroz… La mayoría de los adjetivos pertenecen a este último género.

Pero entonces, ¿de qué clase sería el adjetivo heterológico? Si fuera heterológico se calificaría a sí mismo, y entonces por definición sería autológico, lo cual es absurdo, pues ambas categorías son excluyentes. Luego deberá ser autológico; pero si así lo fuera, entonces, por gozar de dicho atributo sería heterológico, lo cual es absurdo por igual razón.

Gödel logra formular una sentencia autorreflexiva en el lenguaje de las matemáticas al mismo tiempo que evita caer en una contradicción. En sus manos, la paradoja desaparece para convertirse en un teorema asombroso: la sentencia de Gödel, al afirmar de sí misma ser indemostrable, termina siéndolo por razones tautológicas. Su idea para introducir afirmaciones metalingüísticas dentro de un lenguaje particular, sin forzar ninguna ley semántica, es conocida como “numeración gödeliana”, y bien podría ser uno de los golpes de ingenio más extraordinarios en la historia del pensamiento humano [1].

No sé cuántas personas habrán notado la contradicción inherente que implica la existencia de las llamadas “leyes de Murphy”. En su versión más general, la ley de Murphy afirma que todo aquello que pudiera salir mal, saldrá mal. Un lógico escéptico podría razonar de la siguiente manera: si la Ley de Murphy fuera cierta, su validez podría comprobarse de manera experimental. Pero, de acuerdo con la misma ley, todo intento por verificarla deberá fracasar. Luego la ley de Murphy deberá refutase a sí misma.

En uno de esos vídeos ligeros que saturan la internet puede verse cómo dejaban caer rebanadas de pan tostado desde el borde de una mesa, esperando que dieran contra el suelo por el lado untado de mantequilla, como predice la ley de Murphy. Sin embargo, el anfitrión, decepcionado, veía caer las tostadas, una tras otra, justo por el lado contrario. El desengaño duró hasta el momento en que alguien hizo una observación astuta: “No notan acaso que la ley de Murphy sí se está cumpliendo, pues de hecho ¡nuestro intento por comprobarla ha fallado!”.

Entre las paradojas más sutiles relacionadas con el principio de inducción se cuenta la llamada Paradoja de Carl Hempel. A grandes rasgos, este principio afirma que toda observación a favor de una determinada hipótesis aumenta el grado de probabilidad de que ésta sea válida. Hempel propone el siguiente ejemplo: cada vez que examinemos un cuervo, y este sea negro, la factibilidad de la hipótesis “todos los cuervos son negros” crecerá ligeramente (el Principio de Inducción constituye, de hecho, el fundamento de todo el método científico).

De otro lado, la afirmación “todos los cuervos son negros” es equivalente a su contrarrecíproca: "todos los objetos de color diferente del negro no son cuervos”. Por consiguiente, las manzanas verdes, el azul del cielo o el color rojo oscuro de la sangre serían experiencias que deberían aumentar nuestra confianza en la creencia de que todos los cuervos son negros. Desde esta perspectiva, semejante evidencia empírica no luce convincente.

En uno de sus libros, el gran divulgador científico y escritor Martin Gardner discute la llamada “paradoja del examen inesperado”. Un profesor les anuncia a sus pupilos: “prepárense bien, pues la próxima semana les haré una ‘evaluación sorpresa’. Y les explica: “elegiré el día del examen de tal manera que ninguno de ustedes lo sabrá de antemano”. Un estudiante astuto razona de la siguiente manera: el examen no podrá ser viernes, pues el jueves en la noche ya todos esperaríamos el examen para el siguiente día, y no sería sorpresa alguna. Luego, si cumple con su promesa, el examen solo podrá hacerse entre lunes y jueves. Pero tampoco podrá ser jueves, pues, de manera similar, ya todos lo sabríamos la noche anterior. Con un argumento similar se descartan los días miércoles, martes y lunes. Luego el profesor no podrá cumplir con su palabra, razona el pupilo llenándose de tranquilidad. Pero el lunes en la mañana, para su sorpresa, al entrar al aula encuentra un cuestionario sobre cada pupitre.

En opinión de Gardner, el argumento del estudiante resulta ser falaz, pues el profesor bien podría realizar el examen cuando le venga en gana, sin incumplir su palabra. No concuerdo con Gardner, pero expondré mis razones una vez los lectores se hayan formado su propia opinión.

 

[1] Nagel E, JR Newman, Gödel´s proof, NYU Press, 1958.
 

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