Radiografía de una pruebade cálculo

Nunca imaginé que mi columna “Dudas sobre la computadora humana” llegase a desatar semejante tormenta de pasiones y resentimientos, especialmente entre quienes interpretaron el escrito como una tentativa dirigida a descalificar al ídolo colombiano Jaime García Serrano. Debo reiterar que las dudas allí expresadas no son fabricaciones mías: provienen de campeones mundiales de memoria y cálculo, individuos cuya autoridad, a mi juicio, era necesario atender a la hora de evaluar de manera rigurosa los logros de la “computadora humana”.

Fui enfático al afirmar que no tenía evidencias para creer que García no estuviese jugando limpio. Una lectura de la columna, sin prevenciones ni arrebatos patrioteros, revela mi postura escéptica, no obstante abierta. En esa ocasión expresé: “Podríamos estar ante un calculista fenomenal o ante un individuo dotado de una memoria más que prodigiosa”. Y luego añadí: “Pero afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias”, acogiéndome a un sano principio de Hume.

Por desgracia, no es la primera vez que la crítica y el escepticismo se toman como afrentas a las cuales sólo se sabe responder con injurias. Quien haya seguido por internet la transmisión del evento, convocado por El Espectador en la Universidad Jorge Tadeo Lozano, el pasado 21 de marzo, sabrá de qué hablo. Durante más de una hora, tres reconocidos matemáticos debieron soportar la grosería de algunos energúmenos empecinados en entorpecer lo que, a sus ojos, no sería más que una vulgar encerrona. La “encerrona”, por supuesto, no era otra cosa que una prueba organizada en respuesta a la carta que enviara el calculista colombiano al director de este diario, en la cual aceptaba gustoso el reto lanzado por este periódico. García pedía que el evento se llevara a cabo en un centro académico reconocido y en presencia de matemáticos competentes, para que fueran ellos quienes avalaran tanto el desarrollo del evento como la prueba misma.

Previamente al encuentro se acordó con García un cronograma dividido en dos partes: durante la primera media hora, el calculista haría una demostración libre de sus habilidades. En la media hora restante respondería una serie de preguntas preparadas de acuerdo con estándares internacionales, diseñadas bajo la supervisión y asesoría de expertos y siguiendo protocolos propios de los campeonatos mundiales de cálculo mental. Pero la sola mención de que se haría una prueba controlada despertó entre algunos una reacción propia de hooligans.

La primera prueba consistió en cuatro preguntas sobre evaluación de funciones trigonométricas para ángulos enteros medidos en grados. Se pedía aproximar cada respuesta con diez cifras decimales. Las preguntas fueron ascendiendo en orden de dificultad: cotangente (8.549), coseno (12.007), tangente (360.481) y seno (10’123.573). Excepto por el signo, el señor García respondió sin errores de manera casi instantánea, y en algunos casos con una precisión de hasta nueve decimales. Aunque desconozco sus métodos, no es difícil conjeturar la siguiente explicación: aprovechando la periodicidad y simetría de las funciones trigonométricas, cualquiera de los cálculos anteriores puede realizarse si conocemos de memoria los diez primeros decimales de cada función para cada uno de los ángulos enteros entre 0 y 90 grados. Así, por ejemplo, para calcular el coseno de 12.007 grados dividimos el ángulo entre 360, lo cual deja un residuo de 127. De aquí que coseno (12.007) sea igual a coseno (127), que a su vez es igual a -seno (37), cuyo valor ya se conoce de memoria.

Aunque el procedimiento matemático es elemental, poder realizar esas operaciones en la mente, y a la velocidad de García, requiere dotes extraordinarias. Para comenzar, habría que recordar para cada función trigonométrica una tabla de noventa números de diez dígitos. Pero no se trata solamente de guardar cientos de dígitos en la cabeza: también es preciso recuperar esta información de manera inmediata. Y ni hablemos de la dificultad para obtener el residuo de la división entre 90 en apenas fracciones de segundo.

La segunda prueba trató sobre el cálculo de funciones trigonométricas de ángulos no enteros. En las dos primeras preguntas se le pidió calcular los valores de la tangente para 90.011 y 269.989 grados. El problema supera por mucho en dificultad a los anteriores, pues, para ángulos cercanos a 90 y 270, esa función toma valores muy grandes. La aproximación exigida obliga entonces a calcular o bien un cociente de dos enteros de hasta diez cifras o, en su defecto, decenas de términos de la serie de potencias de la función tangente, algo que, a mi juicio, resulta imposible de realizar en segundos, incluso en minutos, como argumenté en mi artículo del 13 de febrero. El calculista colombiano falló en ambas respuestas, aunque en el segundo problema conjeturó que el valor de la tangente debería estar por encima de 52.000, lo cual es correcto. En los problemas tercero y cuarto, seno (Pi) (3,14159… grados) y coseno (1,01235), García aportó sólo tres cifras decimales en cada caso, las cuales bien podrían calcularse (o recordarse) tomando en su lugar los valores aproximados de seno (3) y coseno (1), respectivamente. Quizá previendo esa eventualidad, los jurados pidieron de antemano que cada respuesta se diera con más precisión, lo cual no se respetó.

En la tercera parte de la prueba, García se enfrentó al cómputo de logaritmos en base diez. La calculadora humana acertó los dos primeros problemas, log (66.456) y log (45.913,17), aunque con pocas cifras decimales (se pedían diez), y falló en el tercero, log (0,0112565). Es razonable suponer que García haya utilizado el mismo método que explica en uno de sus libros: si conocemos los valores del logaritmo para enteros entre 1 y 99, podemos obtener de manera aproximada cualquier otro valor, al menos dentro de un rango limitado. Por ejemplo, para resolver el primer problema, comenzamos por aproximar el valor del argumento a 66.000, que es igual a 66 x 1.000, cuyo logaritmo aproximado es log (66) + log (1.000) = 1,82 + 3 = 4,82. Este es un problema que sólo requiere saber de memoria el logaritmo de 66.

En la cuarta prueba, la calculadora humana se enfrentó a una de sus propias marcas: el cálculo de la raíz trece de un número de cien cifras, cuyo récord es de 0,15 segundos. En el protocolo se pedía dar la respuesta con al menos cinco decimales, la cual es un número de ocho cifras, en el caso de tratarse de un entero elevado a la potencia trece. En la prueba, García respondió con sólo dos decimales: 4,74 x 10^7 (el segundo es incorrecto). Bajo estándares internacionales, una aproximación tan pobre no posee interés, ya que puede obtenerse fácilmente a partir de las primeras cifras del número original, olvidando las restantes. La diferencia entre calcular con dos decimales, en lugar del valor completo de la raíz, sería comparable a la diferencia entre subir a pie al cerro de Monserrate o escalar el monte Everest. Debe señalarse, sin embargo, que en las condiciones bajo las cuales se desarrolló la prueba era imposible contar con el silencio y la calma necesarios para realizar cálculos de complejidad semejante.

El ambiente cargado de tensión hizo explotar los nervios del señor García, quien finalmente se vio obligado a suspender la prueba. También quedó por corroborarse otro de sus récords Guinness: haber recordado un número de 220 cifras tras leerlo de un solo “vistazo”. Asimismo, no fue posible estimar su velocidad de cálculo en la extracción de raíces cuadradas de números de seis cifras, récord que ostenta Priyanshi Somani, la niña prodigio hindú.

Debemos agradecerle a Jaime García Serrano por haber aceptado someterse a una prueba exigente y rigurosa (los charlatanes jamás lo hacen), en la cual demostró poseer verdaderas habilidades de memoria y cálculo mental. El infortunado desenlace del evento, producto de la intolerancia y el fanatismo, no permitió que los más curiosos pudiésemos comparar plenamente su desempeño con el de otros calculistas de talla internacional.

klaus.ziegler2@gmail.com

Nunca imaginé que mi columna “Dudas sobre la computadora humana” llegase a desatar semejante tormenta de pasiones y resentimientos, especialmente entre quienes interpretaron el escrito como una tentativa dirigida a descalificar al ídolo colombiano Jaime García Serrano. Debo reiterar que las dudas allí expresadas no son fabricaciones mías: provienen de campeones mundiales de memoria y cálculo, individuos cuya autoridad, a mi juicio, era necesario atender a la hora de evaluar de manera rigurosa los logros de la “computadora humana”.

Fui enfático al afirmar que no tenía evidencias para creer que García no estuviese jugando limpio. Una lectura de la columna, sin prevenciones ni arrebatos patrioteros, revela mi postura escéptica, no obstante abierta. En esa ocasión expresé: “Podríamos estar ante un calculista fenomenal o ante un individuo dotado de una memoria más que prodigiosa”. Y luego añadí: “Pero afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias”, acogiéndome a un sano principio de Hume.

Por desgracia, no es la primera vez que la crítica y el escepticismo se toman como afrentas a las cuales sólo se sabe responder con injurias. Quien haya seguido por internet la transmisión del evento, convocado por El Espectador en la Universidad Jorge Tadeo Lozano, el pasado 21 de marzo, sabrá de qué hablo. Durante más de una hora, tres reconocidos matemáticos debieron soportar la grosería de algunos energúmenos empecinados en entorpecer lo que, a sus ojos, no sería más que una vulgar encerrona. La “encerrona”, por supuesto, no era otra cosa que una prueba organizada en respuesta a la carta que enviara el calculista colombiano al director de este diario, en la cual aceptaba gustoso el reto lanzado por este periódico. García pedía que el evento se llevara a cabo en un centro académico reconocido y en presencia de matemáticos competentes, para que fueran ellos quienes avalaran tanto el desarrollo del evento como la prueba misma.

Previamente al encuentro se acordó con García un cronograma dividido en dos partes: durante la primera media hora, el calculista haría una demostración libre de sus habilidades. En la media hora restante respondería una serie de preguntas preparadas de acuerdo con estándares internacionales, diseñadas bajo la supervisión y asesoría de expertos y siguiendo protocolos propios de los campeonatos mundiales de cálculo mental. Pero la sola mención de que se haría una prueba controlada despertó entre algunos una reacción propia de hooligans.

La primera prueba consistió en cuatro preguntas sobre evaluación de funciones trigonométricas para ángulos enteros medidos en grados. Se pedía aproximar cada respuesta con diez cifras decimales. Las preguntas fueron ascendiendo en orden de dificultad: cotangente (8.549), coseno (12.007), tangente (360.481) y seno (10’123.573). Excepto por el signo, el señor García respondió sin errores de manera casi instantánea, y en algunos casos con una precisión de hasta nueve decimales. Aunque desconozco sus métodos, no es difícil conjeturar la siguiente explicación: aprovechando la periodicidad y simetría de las funciones trigonométricas, cualquiera de los cálculos anteriores puede realizarse si conocemos de memoria los diez primeros decimales de cada función para cada uno de los ángulos enteros entre 0 y 90 grados. Así, por ejemplo, para calcular el coseno de 12.007 grados dividimos el ángulo entre 360, lo cual deja un residuo de 127. De aquí que coseno (12.007) sea igual a coseno (127), que a su vez es igual a -seno (37), cuyo valor ya se conoce de memoria.

Aunque el procedimiento matemático es elemental, poder realizar esas operaciones en la mente, y a la velocidad de García, requiere dotes extraordinarias. Para comenzar, habría que recordar para cada función trigonométrica una tabla de noventa números de diez dígitos. Pero no se trata solamente de guardar cientos de dígitos en la cabeza: también es preciso recuperar esta información de manera inmediata. Y ni hablemos de la dificultad para obtener el residuo de la división entre 90 en apenas fracciones de segundo.

La segunda prueba trató sobre el cálculo de funciones trigonométricas de ángulos no enteros. En las dos primeras preguntas se le pidió calcular los valores de la tangente para 90.011 y 269.989 grados. El problema supera por mucho en dificultad a los anteriores, pues, para ángulos cercanos a 90 y 270, esa función toma valores muy grandes. La aproximación exigida obliga entonces a calcular o bien un cociente de dos enteros de hasta diez cifras o, en su defecto, decenas de términos de la serie de potencias de la función tangente, algo que, a mi juicio, resulta imposible de realizar en segundos, incluso en minutos, como argumenté en mi artículo del 13 de febrero. El calculista colombiano falló en ambas respuestas, aunque en el segundo problema conjeturó que el valor de la tangente debería estar por encima de 52.000, lo cual es correcto. En los problemas tercero y cuarto, seno (Pi) (3,14159… grados) y coseno (1,01235), García aportó sólo tres cifras decimales en cada caso, las cuales bien podrían calcularse (o recordarse) tomando en su lugar los valores aproximados de seno (3) y coseno (1), respectivamente. Quizá previendo esa eventualidad, los jurados pidieron de antemano que cada respuesta se diera con más precisión, lo cual no se respetó.

En la tercera parte de la prueba, García se enfrentó al cómputo de logaritmos en base diez. La calculadora humana acertó los dos primeros problemas, log (66.456) y log (45.913,17), aunque con pocas cifras decimales (se pedían diez), y falló en el tercero, log (0,0112565). Es razonable suponer que García haya utilizado el mismo método que explica en uno de sus libros: si conocemos los valores del logaritmo para enteros entre 1 y 99, podemos obtener de manera aproximada cualquier otro valor, al menos dentro de un rango limitado. Por ejemplo, para resolver el primer problema, comenzamos por aproximar el valor del argumento a 66.000, que es igual a 66 x 1.000, cuyo logaritmo aproximado es log (66) + log (1.000) = 1,82 + 3 = 4,82. Este es un problema que sólo requiere saber de memoria el logaritmo de 66.

En la cuarta prueba, la calculadora humana se enfrentó a una de sus propias marcas: el cálculo de la raíz trece de un número de cien cifras, cuyo récord es de 0,15 segundos. En el protocolo se pedía dar la respuesta con al menos cinco decimales, la cual es un número de ocho cifras, en el caso de tratarse de un entero elevado a la potencia trece. En la prueba, García respondió con sólo dos decimales: 4,74 x 10^7 (el segundo es incorrecto). Bajo estándares internacionales, una aproximación tan pobre no posee interés, ya que puede obtenerse fácilmente a partir de las primeras cifras del número original, olvidando las restantes. La diferencia entre calcular con dos decimales, en lugar del valor completo de la raíz, sería comparable a la diferencia entre subir a pie al cerro de Monserrate o escalar el monte Everest. Debe señalarse, sin embargo, que en las condiciones bajo las cuales se desarrolló la prueba era imposible contar con el silencio y la calma necesarios para realizar cálculos de complejidad semejante.

El ambiente cargado de tensión hizo explotar los nervios del señor García, quien finalmente se vio obligado a suspender la prueba. También quedó por corroborarse otro de sus récords Guinness: haber recordado un número de 220 cifras tras leerlo de un solo “vistazo”. Asimismo, no fue posible estimar su velocidad de cálculo en la extracción de raíces cuadradas de números de seis cifras, récord que ostenta Priyanshi Somani, la niña prodigio hindú.

Debemos agradecerle a Jaime García Serrano por haber aceptado someterse a una prueba exigente y rigurosa (los charlatanes jamás lo hacen), en la cual demostró poseer verdaderas habilidades de memoria y cálculo mental. El infortunado desenlace del evento, producto de la intolerancia y el fanatismo, no permitió que los más curiosos pudiésemos comparar plenamente su desempeño con el de otros calculistas de talla internacional.

klaus.ziegler2@gmail.com