Por: José Fernando Isaza

Problemas matemáticos

La investigación matemática se orienta por la solución a problemas teóricos bien formulados, de enunciado simple y solución compleja.

Entender los tres problemas de la geometría griega está al alcance de cualquier bachiller: dividir un ángulo en tres partes iguales, construir un cubo de doble volumen al de un cubo dado y construir un cuadrado de área igual a un círculo, utilizando sólo la regla y el compás. Este último es llamado la cuadratura del círculo. Por supuesto, es diferente pensar que los griegos pedían construir un círculo cuadrado.

Sin la limitación del uso de regla y compás, estos problemas pueden resolverse con cualquier grado de precisión. El primero, con una calculadora con función tangente. El segundo equivale a calcular la raíz cúbica de dos, y el tercero, la raíz cuadrada de pi. La respuesta a estos problemas tardó casi 2.500 años y fue necesario desarrollar herramientas de teoría de números y crear el álgebra abstracta. La solución fue por la negativa. No es posible ni trisecar el ángulo, ni duplicar el cubo, ni cuadrar el círculo sólo con regla y compás.

Otro problema es la solución de las ecuaciones polinómicas utilizando radicales. La solución para la de segundo grado es conocida hace más de cuatro mil años. Para las de tercer y cuarto grados transcurren 3.500 años y se debe a Tartaglia y Cardano. La pregunta es: ¿hay fórmula que tenga sólo radicales y que exprese las raíces de ecuaciones de grado cinco o mayor? La solución por la negativa es obra de Abel y Galois al comienzo del sigo XIX.

El último teorema de Fermat (UTF) dice que no es posible escribir en números enteros una potencia superior a dos como la suma de dos potencias del mismo grado. Wiles lo demuestra en 1993. Hay miles de soluciones falsas; en muchas de ellas es difícil encontrar el error.

En 1936 Rodrigo Noguera publicó su demostración. Hay un error relativamente fácil de detectar, pero tiene el mérito de hacer conocer en el país aportes de la teoría de números cuando aún no existían facultades de matemáticas.

Son múltiples los intentos sin éxito de elaborar una demostración más sencilla que la de Wiles. Ribenboim dice:

1. Es un derecho inalienable de toda persona producir su propia demostración de UTF.

2. Ninguna demostración debe duplicar una anterior.

3. Es una ofensa criminal someter falsas pruebas a los profesores. El castigo es enviar al autor al infierno, del cual sólo podrá retornar cuando sea capaz de entender y explicar la demostración de Wiles.

Circula en la red una demostración realizada por un colombiano; el error es obvio.

Al iniciarse el siglo XX, Hilbert propuso 23 problemas que orientarían el futuro de la matemática. Quedan tres por resolver, y de algunos la solución es parcial.

A principios de 2000, L. Clay compromete a un grupo de matemáticos para que propongan los problemas del milenio. Se escogen siete y uno de ellos, la conjetura de Poincare, fue resuelto por Perleman, quien rechazó el premio del millón de dólares.

A diferencia de los problemas clásicos, los de Poincare y los del milenio tienen enunciados altamente especializados, difíciles de comprender y escapan a quienes no sean matemáticos profesionales.

Un problema de fácil enunciado es la conjetura de Golbach: todo número par puede escribirse como la suma de dos números primos.

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