Por: Klaus Ziegler

Los infinitos de Cantor

El infinito es un concepto tan elusivo como paradójico, una extensión abusiva de lo inmensamente numeroso.

Parece evidente, por ejemplo, que el conjunto de los múltiplos de mil es más pequeño que el de todos los números naturales, si admitimos como verdad incuestionable que “el todo siempre es mayor que cualquiera de sus partes”.

Sin embargo, si apareamos el 1 con el 1.000, el 2 con el 2.000, el 3 con el 3.000, y así sucesivamente, entonces por cada natural habrá un solo múltiplo de mil asociado, y como no sobran elementos en ninguno de los dos conjuntos, estos han de ser igualmente numerosos (si en una sala de cine todas las sillas están ocupadas, y no hay nadie de pie, se infiere que el número de sillas y el de personas es el mismo).

Esta idea, que reemplaza la acción de contar por la de establecer una correspondencia entre conjuntos, le permitió al matemático alemán George Cantor descubrir algunas propiedades asombrosas del infinito. Cantor pudo establecer que existía una jerarquía de infinitos, ascendentes en tamaño, que llamó números cardinales. Ésta se extendía desde el más pequeño, que denominó aleph cero, seguido por el cardinal del continuo, y abarcaba infinitos inconcebibles que bautizó cardinales transfinitos.

Luego, y sin que él mismo pudiera creerlo, pudo establecer quizás el más fantástico de sus teoremas: que hay tantos puntos en un segmento infinitesimal de recta como en el universo entero, un hallazgo que desafía la intuición y que le valió que algunos de sus colegas lo tildaran de “charlatán científico y corruptor de la juventud”.

A pesar de su hazaña, el infinito se resistía a revelar el más íntimo de sus secretos: Cantor sospechaba que entre un cardinal y el siguiente podría esconderse algún cardinal desconocido. Este problema, conocido como Hipótesis del continuo, obsesionó al genio hasta enloquecerlo. Tras décadas de esfuerzos por encontrar la solución, Cantor murió en un sanatorio.

En 1963, el matemático Paul Cohen demostró que, similar a lo que ocurre con el quinto postulado de Euclides sobre las rectas paralelas, es posible aceptar la existencia de cardinales “intermedios”, o negarla, y ambas posiciones son consistentes con los axiomas de la Teoría de Conjuntos. Sin embargo, para aquellos que adhieren a una filosofía de la matemática conocida como platonismo, la solución de Cohen no es satisfactoria y el problema de los infinitos intermedios está aún por resolverse.

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