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23 Feb 2022 - 3:37 a. m.

El difícil problema usado en un examen de admisión de Oxford, ¿podría resolverlo?

Joel David Hamkins, profesor de filosofía y matemáticas, dirigió muchas entrevistas de admisión en la Universidad de Oxford. Este fue uno de los difíciles acertijos que planteó a postulantes que querían hacer doble programa entre filosofía y otras carreras.
Foto de referencia.
Foto de referencia.
Foto: Pixabay

Cada dos semanas, el columnista Alex Bellos del diario británico The Guardian publica un “acertijo” para sus lectores. Esta vez, con el apoyo de Joel David Hamkins, profesor de filosofía y matemáticas en la Universidad de Notre Dame y quien, hasta diciembre pasado, era profesor de Lógica en la Universidad de Oxford (donde dirigió muchas entrevistas de admisión) trajo una de las preguntas que se usaron para estas evaluaciones de ingreso. (Le puede interesar: Estas fueron las preguntas con las que se rajaron los estudiantes en las pruebas Pisa)

Los postulantes solicitaban estudiar carreras en conjunto con filosofía en la Universidad de Oxford: Política, filosofía y economía; matemáticas y filosofía, e informática y filosofía. Cuando entraron a su entrevista de admisión les presentaron el siguiente problema en el que, como parte de la conversación con el entrevistador, podían ir saliendo pistas o haciendo preguntas de sondeo. El problema se relaciona con cuestiones fundamentales de lógica e informática. ¿Cree que podría resolverlo?

Imagínese que se encuentra en un juego el que intenta ganar un millón de Libras Esterlinas (más de cinco mil trescientos millones de pesos colombianos). Usted es un concursante, pero hay otro concursante -al que no conoce y no ha visto antes- que se encuentra en otra habitación. Solo sabe es que es tan lógico como usted. (Le recomendamos: Un problema de matemáticas que se volvió viral)

El juego, que tiene tantas rondas como sean necesarias, es cooperativo. Es decir, o ambos ganan o ambos pierden. En cada ronda, cada concursante tiene las siguientes dos opciones: o decir al anfitrión: “termino el juego” y anunciar un color (cualquiera que considere), o enviar un mensaje (de cualquier longitud) al otro concursante. Si ambos participantes eligen enviar un mensaje, estos se envían simultáneamente y se cruzan en tránsito.

Para ganar el juego, ambos deben anunciar que terminan el juego en la misma ronda y decir los mismos colores. Si solo uno termina el juego, o ambos lo terminan, pero anuncian colores diferentes, pierden.

Empieza lo complejo. ¿Qué pasa cuando la ronda 1 comienza? Lo más probable es que usted decida no terminar el juego. Tiene varios motivos: se trata de una estrategia evidentemente mala. Si lo termina, tendría que anunciar un color (pongamos como ejemplo el rojo) y, para ganar el millón de libras, el otro concursante debería decidir, también en la primera ronda, terminarlo y anunciar casualmente el color rojo (lo que es muy poco probable). En consecuencia, la mejor estrategia, seguro, requerirá algún intercambio de mensajes entre usted y el otro concursante.

Ahora hagamos una pausa y consideremos una versión más sencilla del acertijo (haciendo un paréntesis al problema original para entenderlo mejor) en la que todas las condiciones permanecen iguales, excepto que en cada ronda solo un competidor envía un mensaje. Es decir, en la ronda uno usted envía el mensaje, en la ronda dos el otro concursante le envía un mensaje, en la tercera: usted, en la cuarta: él, etc. Aparece un panorama más claro. Su mensaje en la ronda 1 podría ser: “Diga rojo en la ronda dos y ganaremos”. O, siendo cautelosos, podría ser: “diga rojo en la ronda tres, confirme que lo hará en la ronda dos, y ganaremos”. Ambos resultarían ganadores del premio en la ronda tres.

El problema es que esta estrategia no funciona en el acertijo original, en el que los mensajes se envían simultáneamente. ¿Por qué? Supongamos que en la ronda 1 usted le dice “declaremos rojo en la ronda tres, confirme en la ronda dos”. Pero el otro concursante, tan inteligente y lógico como usted, dice en la ronda uno: declaremos azul en la ronda tres, confirme en la ronda dos”. ¿Cómo van a hacer ambos para confirmar dos colores distintos en la misma ronda? ¿Cuál confirman, el rojo o el azul?

Este mismo problema podría pasar cada vez que enviaran un mensaje al otro concursante, siempre con colores diferentes, convirtiéndose en un callejón sin salida. Esa es la primera gran pregunta: ¿Cómo lo resolvería?

Ahora, sigamos con otras variaciones (que, en la entrevista, el tutor podría haber incluido para hacer más compleja la discusión). La primera: la variación de la colisión.

En esta, los jugadores tienen tres opciones en cada ronda. Pueden (1) finalizar el juego y anunciar un color, (2) enviar un mensaje o (3) no hacer nada.

Si ambos jugadores envían un mensaje, estos chocan y no se entregan. En este caso, cada jugador recibiría un mensaje de error que indica que el mensaje no se entregó. Segunda pregunta: ¿Qué haría usted en este caso?

La otra variación es la de “la paloma”. En esta, solo un concursante envía un mensaje por ronda (como en la versión simplificada). Usted comienza en la ronda uno, le otro concursante envía en la ronda dos, y se siguen alternando. Esta vez, el truco es que están muy lejos el uno del otro, y los mensajes se envían a través de una paloma mensajera, lo que significa que no podrían estar totalmente seguros de que los mensajes llegaran. Nuevamente: ¿qué haría?

Las respuestas

En su columna el autor asegura que, cuando se usó este acertijo en las entrevistas de admisión de Oxford, no se esperaba una respuesta correcta o perfecta de inmediato, ya que no hay un “único” o “mejor mensaje” para enviar en la ronda uno. El problema buscaba, entonces, conocer cuáles serían las estrategias que emplearían, esas sí, unas mejores que otras.

Como el acertijo tiene tres versiones, estas fueron las soluciones a todas ellas que entregó el autor.

La versión estándar

Para solucionar el “impasse” de decidir si se queda con el “rojo” o hace caso al otro concursante y anuncia el “azul” (y así con cualquier color en todas las rondas), señala el autor, una salida rápida puede ser lanzar una moneda. Es decir, introducir un elemento aleatorio.

Al decidir lanzar una moneda al aire en cada ronda y definir de antemano, por ejemplo, que el color “rojo” será para las caras y “azul” para los sellos, en unas pocas rondas, si ambos concursantes hacen lo mismo, la probabilidad de que ambas monedas caigan al tiempo en cara o en sello es mayor, por lo que enviarán el mismo mensaje y ganarán en la siguiente ronda.

La variación de la colisión

Recordemos que en esta variación los concursantes tienen tres opciones en cada ronda: finalizar y anunciar color, enviar mensaje o no hacer nada. Si ambos deciden enviar un mensaje en la misma ronda, estos chocan y no se entregan. ¿Qué hacer?

Una vez más, señala el autor de la columna, la aleatoriedad viene al rescate. “Tirar una moneda para decidir si envía un mensaje o permanece en silencio”. Así, si sale cara, puede enviar el mensaje “anuncie rojo en la próxima ronda si este mensaje le llega”. Luego, no hace nada, y planea seguir lo que le sugiere el mensaje que podría recibir. “Es muy probable que en unas pocas rondas un mensaje llegue de una forma u otra, con una victoria rápida después”.

La variación de la paloma:

Como es posible que el mensaje enviado nunca llegue al otro concursante (y viceversa) el premio no está garantizado. Sin embargo, se puede alcanzar un alto grado de confianza haciendo lo siguiente.

En la ronda 1 envía el mensaje: “diremos rojo en la ronda 1000, confirme”. En cada ronda subsiguiente envía el mismo mensaje, junto con un registro completo de todos los mensajes anteriores enviados y recibidos. Así, si el otro concursante recibe el mensaje en la ronda 1, simplemente hará caso y enviará la confirmación. Si no lo recibió podría responder: “lo siento, no se recibió ningún mensaje, por favor reenviar”. Eventualmente, insiste, es probable que los mensajes lleguen y los dos jugadores estarán en camino a ganar con una alta probabilidad.

“En las entrevistas de admisión, que generalmente duraban menos de 25 minutos, nos alegraba que un candidato se diera cuenta del problema de simetría en el rompecabezas principal, antes de pasar a la versión alterna. Luego, en la versión de la colisión, la idea de aleatoriedad parecía surgir de manera más natural, por lo que los mejores candidatos pudieron darse cuenta, entonces, de cómo aplicar la idea de aleatoriedad a la versión principal”, asegura el profesor Hamkins a The Guardian. “Con la versión de la paloma del acertijo, los candidatos exitosos se dieron cuenta de la necesidad de lograr la confirmación y la confirmación de la confirmación, y algunos juntaron esto para montar el argumento de la imposibilidad para el caso de certeza. La mayoría se dio cuenta de cómo aumentar la probabilidad de éxito eligiendo una ronda lejana y mensajes repetitivos”, concluye.

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