Generaciones, ancestros, ramificaciones y matemáticas
A veces las matemáticas nos permiten entender algunos fenómenos sociales, también algunas veces nos facilitan la comprensión de ciertos mensajes. A este último caso quiero dedicar las reflexiones de hoy.
Hay un viejo problema, muy sencillo de comprender, que conocí hace años, siendo estudiante de matemáticas; se trata de hacer un cálculo simple que nos muestra cifras sorprendentes sobre el número de nuestros ancestros. El tema vino a mi memoria al ver hace algunos días el bello video de Alejandro Balbi, disponible en internet bajo el título de “Matemáticas Ancestrales”.
La denominación de una generación, medida en años, es comúnmente confundida con las décadas. Se habla de la generación de los 70 o de los 80, haciendo alusión a los nacidos en esas décadas. También existe el criterio de definir una generación de acuerdo con las costumbres de las personas en un período de tiempo y se tiende a confundir la duración de una generación con el tiempo que dura un hábito general, un modo de educación o incluso un uso común de transporte, de determinados aparatos, de procedimientos médicos o de un tipo de alimentación. Es decir, períodos de hábitos, usos o costumbres que luego desaparecen o que dejan de ser frecuentes. También hay otros ejemplos de denominación muy difundidos hoy, como la “generación X” o la “generación de millennials”.
Es mucho más acertado, en cambio, decir por ejemplo, que un restaurante ha pertenecido a tres generaciones distintas cuando se hace referencia a que el padre y el abuelo del actual propietario también fueron sus dueños.
Si aceptamos que el lapso de tiempo que abarca una generación es la diferencia de edad entre padres e hijos y tenemos en cuenta que la mayoría de las madres tienen sus hijos entre los 17 y los 33 años, entonces 25 años es un promedio adecuado para una generación estándar. Naturalmente hay sociedades, países o incluso estratos en los que estos rangos son distintos.
Ahora vamos a hacer un cálculo sencillo: todos tenemos una madre y un padre, es decir 2 personas de las que descendemos, que pertenecen entonces a la primera generación que nos antecede. Todos tenemos 4 abuelos, que pertenecen a la segunda generación. De la misma forma, todos tenemos 8 (2 elevado a la 3) bisabuelos, en la tercera generación. Continuando de esta manera, encontramos 16 (2 elevado a la 4) tatarabuelos en la cuarta generación; y tenemos 32 (2 elevado a la 5) “tatara-tatarabuelos", y así sucesivamente, de tal forma que en la generación número 10 anterior tuvimos (2 elevado a la 10) “tras-tatarabuelos"; esto es 1024 personas pertenecientes a la décima generación anterior, es decir que vivieron hace unos 250 años, de las que descendemos en forma directa.
Pero si examinamos un poco más atrás y nos ubicamos, por ejemplo, en 1492, cuando Cristobal Colón arribó a estas tierras, es decir 21 generaciones antes, y queremos saber cuántos son nuestros “tras-tatarabuelos” de aquella época, nos sorprenderemos. En efecto, encontramos que fueron 2 097 152 (2 elevado a la 21). Dicho de otra forma: cada uno de nosotros existe hoy, gracias a más de dos millones de personas que vivían cuando se descubrió América, que nos han dado una descendencia directa a través de padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos, en fin, “tras-tatarabuelos”. Con una sola de esas personas que hubiese faltado, no habríamos nacido, pues en este cálculo estamos teniendo en cuenta solo ancestros directos.
A estas tierras, que habitaban los pueblos indígenas, llegaron desde el descubrimiento de América grupos importantes de inmigrantes de todo el mundo, y entre todos hemos conformado una gran familia. Con una alta probabilidad, en ese amplio grupo de personas que también intervinieron después, encontramos algún “tras-tatarabuelo” común sin que lo sepamos. En efecto, si sumamos ahora los padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos y “tras-tatarabuelos” de las generaciones que siguieron a los 2 097 152 iniciales, obtenemos la cifra de 4 194 302 (que corresponde a 2 elevado a la 22, menos 2). Ese es el número de personas que, desde Colón, conforma el grupo de nuestros padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos, y “tras-tatarabuelos” hasta la generación 21. Imaginemos ahora cómo sería si contáramos hermanos, primos, tíos y demás parentela de nuestros ancestros directos.
En ese inmenso grupo de ancestros de cada uno de nosotros hubo, como bien lo señala Alejandro Balbi en el video antes mencionado, campesinos, profesores, comerciantes, religiosos, artesanos, aventureros, prostitutas, navegantes, ladrones, empresarios, gobernantes, obreros, en fin, no lo sabemos. Muy poco sabemos sobre nuestros ancestros antes de la tercera generación, pero cuando nos cruzamos con un desconocido en la calle, muy probablemente se trata de un pariente con quien tenemos algún “tras-tatarabuelo” común. Igual cuando nos cruzamos con un indigente que cuando tropezamos con un ejecutivo. En ambos casos la probabilidad es alta.
La curiosidad por estos temas ha conducido actualmente al estudio de la composición de árboles genealógicos y de la ramificación de los grupos familiares como un problema de interés en muchas investigaciones formales de las Matemáticas, la Estadística y la Actuaría, pero principalmente en una rama de la Probabilidad y los Procesos Estocásticos denominada Procesos de Ramificación.
Los colombianos somos una numerosa familia, cada uno de nosotros es el milagroso fruto de más de 4 millones de personas que han vivido durante un poco más de 5 siglos para darnos una descendencia directa. Y estoy seguro de que nuestro “tras-tatarabuelo” común esbozaría una sonrisa si observara que ya dejamos de pelearnos.
*Rector, Universidad Nacional de Colombia
A veces las matemáticas nos permiten entender algunos fenómenos sociales, también algunas veces nos facilitan la comprensión de ciertos mensajes. A este último caso quiero dedicar las reflexiones de hoy.
Hay un viejo problema, muy sencillo de comprender, que conocí hace años, siendo estudiante de matemáticas; se trata de hacer un cálculo simple que nos muestra cifras sorprendentes sobre el número de nuestros ancestros. El tema vino a mi memoria al ver hace algunos días el bello video de Alejandro Balbi, disponible en internet bajo el título de “Matemáticas Ancestrales”.
La denominación de una generación, medida en años, es comúnmente confundida con las décadas. Se habla de la generación de los 70 o de los 80, haciendo alusión a los nacidos en esas décadas. También existe el criterio de definir una generación de acuerdo con las costumbres de las personas en un período de tiempo y se tiende a confundir la duración de una generación con el tiempo que dura un hábito general, un modo de educación o incluso un uso común de transporte, de determinados aparatos, de procedimientos médicos o de un tipo de alimentación. Es decir, períodos de hábitos, usos o costumbres que luego desaparecen o que dejan de ser frecuentes. También hay otros ejemplos de denominación muy difundidos hoy, como la “generación X” o la “generación de millennials”.
Es mucho más acertado, en cambio, decir por ejemplo, que un restaurante ha pertenecido a tres generaciones distintas cuando se hace referencia a que el padre y el abuelo del actual propietario también fueron sus dueños.
Si aceptamos que el lapso de tiempo que abarca una generación es la diferencia de edad entre padres e hijos y tenemos en cuenta que la mayoría de las madres tienen sus hijos entre los 17 y los 33 años, entonces 25 años es un promedio adecuado para una generación estándar. Naturalmente hay sociedades, países o incluso estratos en los que estos rangos son distintos.
Ahora vamos a hacer un cálculo sencillo: todos tenemos una madre y un padre, es decir 2 personas de las que descendemos, que pertenecen entonces a la primera generación que nos antecede. Todos tenemos 4 abuelos, que pertenecen a la segunda generación. De la misma forma, todos tenemos 8 (2 elevado a la 3) bisabuelos, en la tercera generación. Continuando de esta manera, encontramos 16 (2 elevado a la 4) tatarabuelos en la cuarta generación; y tenemos 32 (2 elevado a la 5) “tatara-tatarabuelos", y así sucesivamente, de tal forma que en la generación número 10 anterior tuvimos (2 elevado a la 10) “tras-tatarabuelos"; esto es 1024 personas pertenecientes a la décima generación anterior, es decir que vivieron hace unos 250 años, de las que descendemos en forma directa.
Pero si examinamos un poco más atrás y nos ubicamos, por ejemplo, en 1492, cuando Cristobal Colón arribó a estas tierras, es decir 21 generaciones antes, y queremos saber cuántos son nuestros “tras-tatarabuelos” de aquella época, nos sorprenderemos. En efecto, encontramos que fueron 2 097 152 (2 elevado a la 21). Dicho de otra forma: cada uno de nosotros existe hoy, gracias a más de dos millones de personas que vivían cuando se descubrió América, que nos han dado una descendencia directa a través de padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos, en fin, “tras-tatarabuelos”. Con una sola de esas personas que hubiese faltado, no habríamos nacido, pues en este cálculo estamos teniendo en cuenta solo ancestros directos.
A estas tierras, que habitaban los pueblos indígenas, llegaron desde el descubrimiento de América grupos importantes de inmigrantes de todo el mundo, y entre todos hemos conformado una gran familia. Con una alta probabilidad, en ese amplio grupo de personas que también intervinieron después, encontramos algún “tras-tatarabuelo” común sin que lo sepamos. En efecto, si sumamos ahora los padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos y “tras-tatarabuelos” de las generaciones que siguieron a los 2 097 152 iniciales, obtenemos la cifra de 4 194 302 (que corresponde a 2 elevado a la 22, menos 2). Ese es el número de personas que, desde Colón, conforma el grupo de nuestros padres, abuelos, bisabuelos, tatarabuelos, y “tras-tatarabuelos” hasta la generación 21. Imaginemos ahora cómo sería si contáramos hermanos, primos, tíos y demás parentela de nuestros ancestros directos.
En ese inmenso grupo de ancestros de cada uno de nosotros hubo, como bien lo señala Alejandro Balbi en el video antes mencionado, campesinos, profesores, comerciantes, religiosos, artesanos, aventureros, prostitutas, navegantes, ladrones, empresarios, gobernantes, obreros, en fin, no lo sabemos. Muy poco sabemos sobre nuestros ancestros antes de la tercera generación, pero cuando nos cruzamos con un desconocido en la calle, muy probablemente se trata de un pariente con quien tenemos algún “tras-tatarabuelo” común. Igual cuando nos cruzamos con un indigente que cuando tropezamos con un ejecutivo. En ambos casos la probabilidad es alta.
La curiosidad por estos temas ha conducido actualmente al estudio de la composición de árboles genealógicos y de la ramificación de los grupos familiares como un problema de interés en muchas investigaciones formales de las Matemáticas, la Estadística y la Actuaría, pero principalmente en una rama de la Probabilidad y los Procesos Estocásticos denominada Procesos de Ramificación.
Los colombianos somos una numerosa familia, cada uno de nosotros es el milagroso fruto de más de 4 millones de personas que han vivido durante un poco más de 5 siglos para darnos una descendencia directa. Y estoy seguro de que nuestro “tras-tatarabuelo” común esbozaría una sonrisa si observara que ya dejamos de pelearnos.
*Rector, Universidad Nacional de Colombia