De Pitágoras a Hasler: en busca de la escala perfecta

El escritor romano Ancio Boecio atribuye a Pitágoras la división de la escala musical en doce intervalos, invento que hoy sabemos data de épocas anteriores a las leyes matemáticas descubiertas por el gran filósofo de Samos en su mítico monocordio.

Según narra la leyenda, Pitágoras se habría inspirado en el repicar armónico de los martillos de cierta herrería. La razón para la armoniosa combinación de sonidos, cuenta Boecio, se hizo evidente una vez este comparó sus pesos y los halló en proporciones justas de 12:8:9:6.

Sea cual fuere la verdad, los antiguos griegos no desconocían el principio de la octava musical: el carácter del sonido de dos cuerdas al vibrar, cuando sus longitudes se encuentran en relación 2:1, es esencialmente “el mismo”, excepto por ser el tono más agudo en el caso de la cuerda más corta. Así, por ejemplo, dos voces separadas una octava se oyen al unísono (igual tono) cuando cantan una misma melodía. Y no es casual que las notas del piano reciban el mismo nombre si el cociente de sus frecuencias es igual a una potencia de dos. Curiosamente, a diferencia del oído, el rango de frecuencias lumínicas visibles para el ojo humano se limita a una “octava”, entre el rojo (4×10^14 Hz) y el violeta (8×10^14 Hz), un hecho en verdad intrigante.

También conocían los antiguos griegos el llamado intervalo justo de quinta: dos cuerdas cuyas longitudes están en proporciones 2:3 generan un sonido armonioso al vibrar simultáneamente. El mismo fenómeno se observa si las longitudes de ambas cuerdas están en proporciones determinadas por enteros pequeños. Esta observación constituye el punto de partida en la construcción de la escala musical pitagórica: la idea consiste en generar a partir de una determinada nota una sucesión de quintas (notas cuyas frecuencias son potencias enteras de 3/2) que deberá ser luego reorganizada en orden ascendente entre dicha nota y su octava. Si tomamos como referente el do central del piano, cuya frecuencia es f=261,626 Hz, la recursión pitagórica iría generando notas cuyas frecuencias serían: f, 5/4f, 9/8f, 4/3f, 3/2f…, que corresponden (solo de manera aproximada) a las notas do, re, mi, fa, sol… de un instrumento moderno de teclado.

La construcción, no obstante su simpleza, adolece de problemas insuperables. En primer lugar, el ciclo de quintas jamás se cierra: la potencia decimosegunda de 3/2 ya produce una nota ligeramente por encima de la tónica, separada una pequeña distancia conocida como coma pitagórica, poco menor que la cuarta parte del intervalo comprendido entre dos teclas consecutivas del piano. La secuencia no conforma entonces un sistema circular, sino una espiral infinita: do, sol, re, la, mi, si, fa#, do#,…,si#… Notas como si# (si sostenido) o la(bb) (doble bemol) sonarían extrañas, irreconocibles para un oído contemporáneo.

Y aún si nos limitásemos a doce notas fundamentales subsistirían dos inconvenientes. De un lado, los semitonos (distancia entre una nota y la siguiente) de la escala pitagórica no se encuentran igualmente espaciados, y este desperfecto hace imposible llevar una misma melodía a tonalidades diferentes (transportarla) sin alterarla. De otro lado, la construcción de Pitágoras ofrece solo una aproximación al ideal griego de preservar solo aquellos intervalos representables como cocientes entre enteros pequeños. El llamado intervalo de tercera mayor (entre do y mi), para dar un ejemplo, corresponde en la escala pitagórica a una relación de frecuencias igual a 81/64, cercano, aunque no igual, al “intervalo justo de tercera mayor”, conformado por dos notas cuyas frecuencias se encuentran en relación simple 5:4.

Durante siglos, los músicos se valieron de infinidad de recursos para construir instrumentos capaces de reproducir el mayor número de intervalos perfectos, al costo, muchas veces, de hacerlos increíblemente complejos. En su obra Harmonie universelle, Marin Mersenne (también famoso por sus estudios sobre los números primos de la forma 2^p-1) concibió un instrumento de teclas con ¡no menos de cuatro llaves entre fa y sol! Y en Holanda aún perduran órganos con más de treinta llaves por octava, uno de ellos favorito de Handel.

Sin embargo, con el paso del tiempo, la construcción de una escala “cerrada” simple, una que permitiera simplificar los instrumentos de teclado y transportar a gusto las melodías se convirtió en una necesidad apremiante. Las primeras iniciativas parecen provenir de Gioseffo Zarlino, músico y compositor italiano, y de un matemático de los Países Bajos, Simon Stevin. La idea original, no obstante, se debe a Vincenso Galilei, padre del famoso físico. En su obra Dialogo della música antica et della moderna se describe la construcción de una escala casi cerrada donde la octava se divide en intervalos iguales a 18/17. Para “cerrarla”, Stevin se atrevió a dar el paso “irracional” definitivo y propuso dividirla en intervalos iguales a la raíz doce de dos. Semejante magnitud, además de ser un número irracional, no puede construirse con regla y compás, pero proporciona la solución matemática exacta al problema.

La escala equitemperada de Stevin posee todos sus semitonos distribuidos de manera uniforme. Así todas las tonalidades quedan en pie de igualdad, y se resuelve, de una vez por todas, uno de los mayores inconvenientes de la escala pitagórica. Y en cuanto a los intervalos justos, la construcción ofrece una aproximación que, aunque bondadosa, implica un compromiso que no todo músico está dispuesto a aceptar.

El gran Bach no parece haberse resignado a componer dentro de parámetros tan fijos. Los 48 preludios y fugas para el Clave Bien Temperado fueron realmente escritos para ser ejecutados en escalas más ricas, conocidas como escalas temperadas irregulares, como comenta el matemático y musicólogo David Benson ¹. La resistencia de Bach a componer dentro de los límites de un solo esquema musical se hace evidente en su Tocata en Fa# menor (BWV 910). Allí, una misma frase se repite cerca de veinte veces en distintas escalas temperadas irregulares, como si el compositor quisiera mostrarnos la pérdida irreparable de matices cuando la composición se ciñe a moldes uniformes.

A pesar de las muchas ventajas de la escala temperada, los constructores de instrumentos no cedieron en su intención de aproximarse al ideal griego y siguieron fabricando artefactos descomunales para acomodar tantas notas en una misma octava como fuera posible. Entre los más extravagantes se cuentan el Harmonium enarmónico de Robert Bosanquet, construido en 1853, capaz de albergar 87 teclas en 7 niveles y 53 notas por octava. No obstante su complejidad, el invento de Bosanquet fue ampliamente superado por el monstruoso orthotonophonium, inspirado en teorías del astrónomo y físico Arthur von Oettingen, en el cual se acomodan 72 notas en cada octava.

No todos los compositores modernos han renunciado a la antigua quimera griega de los intervalos perfectos. Instrumentos de viento, como la gaita o el corno, son bastante flexibles a la hora de interpretar escalas justas, debido a su capacidad natural para producir armónicos. En su Serenata para tenor, corno y cuerdas, por ejemplo, Bejamin Britten aprovecha de manera extraordinaria el potencial armónico del corno francés en un preludio escrito para ser interpretado sin utilizar ninguna de las válvulas del instrumento.

Así mismo, el compositor norteamericano Walter Carlos (hoy Wendy Carlos) ha explotado esquemas musicales “justos” de naturaleza exótica donde la octava deja de ser la partición fundamental. Músicos como John Chalmers o Michael Harrison han construido escalas experimentales hasta de 24 tonos (en el piano armónico de Harrison, el do sostenido y el re bemol van asignados a teclas diferentes). Este último compositor fue el primero en crear un piano afinado en entonación justa, con flexibilidad para modular distintos sistemas de teclados con solo pisar un pedal.

Como ejemplo notable de la incesante búsqueda de nuevos horizontes musicales se destaca la obra del compositor colombiano Johann Hasler, ganador en 1995 del premio de composición del Ministerio Colombiano de Cultura. Más allá de la música algorítmica o de aquella música compuesta con ayuda de computadores, sus propuestas incluyen la conversión de series numéricas en distintas “alturas en la partitura”, las cuales pueden ejecutarse en un sistema musical de base diatónica, cromática o microcromática ².

Desde que Helmholtz inició sus estudios sobre la percepción musical, interrogantes fundamentales, como la misteriosa identidad de las octavas o la naturaleza de la consonancia y la disonancia musical, comienzan apenas a dilucidase. Es un misterio, sin embargo, que casi todos los humanos encontremos nostálgico el sonido simultáneo de tres notas cuyas frecuencias están en relación de 6/5 y 5/4 (tono menor) y jubilosa una terna cuyas proporciones se encuentran en el orden contrario. No menos misterioso resulta el hecho de que una sucesión rítmica de frecuencias y armónicos pueda despertar en todos los humanos las emociones más sublimes y los más profundos sentimientos de tristeza y alegría.

¹ //homepages.abdn.ac.uk/mth192/pages/html/music.pdf
² http://www.bdigital.unal.edu.co/43525/1/45873-222518-1-SM.pdf