Omega

El origen del embrollo con los números puede atribuirse a Platón, quien postuló que el universo estaba formado por figuras geométricas rectas y arcos de círculos, por poliedros regulares y por números. Todo era claro, los números eran las convenciones que se usaban para contar, los matemáticos les dieron el nombre de números naturales: 1, 2, 3… Como se requería restar un número mayor de uno menor, se introdujeron los números enteros. La armonía musical, tema predilecto de Pitágoras, al comparar las frecuencias de las notas, llevó a los griegos a perfeccionar el concepto de los hoy llamados números racionales, o más coloquialmente los quebrados; simplemente la división entre números enteros. Se creía que con esto se agotaba el conocimiento numérico y se podía comprender el cosmos.

No contaban con que los matemáticos, a diferencia de los escritores de libros de autoayuda, a cada solución le encuentran un problema. Este surge en la escuela pitagórica. El teorema que lleva el nombre del fundador de dicha academia portaba el virus por dentro: fue posible construir números que no son ni enteros ni racionales; la raíz cuadrada de 2 es el ejemplo clásico. Se les dio el nombre de números irracionales, como si fueran contrarios a la razón. El mito narra que, como consecuencia de este terrible descubrimiento, que destruía la armonía cósmica, Pitágoras ordenó el sacrificio de 100 bueyes, la hecatombe, para apaciguar a los dioses.

Se pensó que el problema numérico estaba resuelto, los números que no eran racionales eran la raíz de alguna ecuación polinómica. Vana esperanza. Los trabajos de los matemáticos del siglo XIX mostraron que hay números que no son soluciones de ninguna ecuación polinómica; se les dio el sonoro nombre de números trascendentes. Ingenuamente se pensó que esos números eran una especie rara, una anomalía. La astucia de los matemáticos pronto los sacaría de la zona de confort.

Los números enteros y los racionales son infinitos, pero ese infinito es el más pequeño. Los irracionales son infinitos, pero es un infinito, por decirlo de alguna forma, infinitamente más grande que el infinito de los racionales. Lo que es aún más complicado: los números trascendentes forman un infinito mayor que el de los irracionales. Este galimatías de ordenar los infinitos lo precisa Cantor, de quien puede afirmarse que dominó el infinito. El infinito más pequeño de los números racionales se conoce como el aleph cero.

Hasta bien entrado el siglo XX la situación era más o menos clara. La mayor parte de los números son trascendentes y para calcularlos con la precisión que se quiera puede crearse un algoritmo. Los computadores solo pueden trabajar con números racionales, pues requeriría memoria infinita trabajar con los irracionales. De ahí la paradoja: si se programa un computador para que elija al azar un número elegirá uno racional, a pesar de que la probabilidad de este evento es cero.

Un matemático de origen argentino, Gregory Chaitin, nuevamente complicó la situación: demostró que existen unos números, los omega, que son más elusivos que los trascendentes. Los números omega no pueden calcularse con ningún programa de computador, y no es por restricciones en el hardware o el software, es porque si se pudieran calcular el teorema de incompletez de Gödel sería falso. Los números omega son un infinito mayor que los trascendentes. La mayor parte de los números no son computables.