Por: José Fernando Isaza

Solución

El mes pasado, se anunció a la comunidad matemática la solución de un problema de geometría diferencial denominado la “conjetura de Zimmer”. Tres matemáticos lo lograron: D. Fisher, de la Universidad de Indiana; A. Brown y S. Hurtado, de la Universidad de Chicago. Es importante destacar que Sebastián Hurtado es un colombiano egresado de la Universidad Nacional.

Robert Zimmer es presidente de la Universidad de Chicago. Hace 40 años formuló la hipótesis sobre la no existencia de simetrías reticulares en espacios de baja dimensión. En un plano los retículos son como las baldosas, en el espacio en el que vivimos son como cubos, en dimensiones superiores a tres son hipercubos. Zimmer trabaja con retículos no rígidos, pero sus deformaciones no los parten ni los aplastan. Zimmer conjetura, es decir plantea una hipótesis pero no logra una demostración, que en espacios de pocas dimensiones no se producen las simetrías de los retículos. Los tres matemáticos mencionados demostraron la conjetura de Zimmer, que deja de ser una hipótesis para volverse un teorema.

Cuarenta años no es mucho tiempo para solucionar un problema tan complejo como la conjetura de Zimmer. Posiblemente el problema matemático que ha tardado más tiempo en ser resuelto fue la solución por radicales de la ecuación polinómica de tercer grado. Se han encontrado en la actual Irak tabletas de arcilla que datan de 1.600 a. C., en las cuales se propone encontrar la solución general a dichos polinomios. La solución al polinomio de segundo grado, la pesadilla de los estudiantes de bachillerato, se encuentra en tabletas de la misma época.

Transcurrieron mas de 3.100 años para que un matemático del Renacimiento italiano, Niccolò Tartaglia, lo resolviera en 1553. La solución es de una sencillez asombrosa. Casi simultáneamente Lodovico Ferrari, otro italiano, encontró la solución a la ecuación de cuarto grado; el método es sensiblemente más complejo que el descubierto por Tartaglia para resolver la ecuación de grado tres. El camino obvio a seguir era buscar la fórmula en radicales de las raíces de polinomios de cinco y más grados. La solución se obtuvo por la negativa. Niels Abel y Évariste Galois, en los años 1824 y 1832, demostraron que es imposible encontrar los ceros por radicales. No hay solución por radicales de los polinomios de grado cinco o mayores.

La demostración del llamado último teorema de Fermat —en realidad cuando lo propuso, en 1622, no lo demostró, por lo que más precisamente podría denominarse conjetura de Fermat— tardó 357 años en convertirse en teorema. Andrew Wiles demostró la conjetura en 1995.

Los tres emblemáticos problemas de la geometría griega —con regla y compás dividir un ángulo en tres partes iguales, construir un cuadrado de área igual a la de un círculo llamado la cuadratura del círculo, construir el lado de un cubo de volumen el doble del cubo original— tardaron mas de 2.300 años en ser resueltos, demostrando que dichas construcciones no son posibles con solo regla y el compás. Se pueden obtener resultados tan exactos como se quiera con métodos numéricos o con ayuda de curvas geométricas diferentes al círculo. La demostración de la imposibilidad de la cuadratura del círculo se le debe a Lindemann en 1862. Wentzel, en 1837, demostró que no se puede trisecar el ángulo, y Gauss, que no es posible construir la raíz cúbica de 2, que equivale a duplicar el cubo con regla y compás.

 

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