El enigma de los números primos: entre el orden y el caos

Un número primo es un entero positivo que solo puede dividirse exactamente por la unidad y por sí mismo. Por convención matemática, el 1 no se considera primo; la lista comienza con el 2 y luego siguen el 3, el 5 y el 7. El 9 queda descartado: es divisible por 3. Después vienen 11, 13, 17, 19, 23…

¿Seguirán apareciendo primos indefinidamente o, por el contrario, más allá de algún número inconcebiblemente grande, terminarán por desaparecer? Hace más de 2.300 años, esa pregunta ya preocupaba a Euclides. La respuesta aparece en sus Elementos, el tratado que transformó para siempre la ciencia occidental. Es la proposición 20 del Libro IX y contiene la primera demostración conocida de que los números primos son infinitos.

El razonamiento que aparece en esa obra monumental resulta de una sencillez desconcertante. En lenguaje moderno, tomemos cualquier colección de números primos p₁, p₂, …, pn —tantos como queramos— y construyamos el número

N = p₁p₂···pn + 1.

Es decir, los multiplicamos todos y luego sumamos 1. Entonces sucede algo inevitable: ninguno de los primos de nuestra colección puede dividir exactamente a N, porque al dividir N por cualquiera de ellos siempre queda un residuo de 1. Pero N debe ser primo o tener algún divisor primo. En cualquiera de los dos casos, aparece un número primo que no estaba en esa lista. Esa es la maravilla: por muchos primos que hayamos reunido, siempre podremos encontrar otro más. La sucesión nunca termina.

Recuerdo que, siendo niño, mi padre me enseñó este argumento con una mezcla de asombro y reverencia, como quien revela una delicada joya del pensamiento. Muchos años después leí en Arrow in the Blue, la autobiografía de Arthur Koestler, que el escritor húngaro había experimentado una fascinación semejante, aunque en circunstancias mucho más sombrías.

Durante la Guerra Civil Española, Koestler cayó prisionero de los franquistas y pasó meses en una celda esperando que en cualquier momento vinieran a buscarlo para llevarlo al paredón de fusilamiento. Allí recordó esa misma prueba de Euclides, que había aprendido en la escuela. Para llenar las interminables horas de angustia, arrancó un trozo del resorte metálico de su colchón y empezó a garabatear fórmulas en la pared de la celda. Después de rehacer algunas ecuaciones de geometría analítica, logró reconstruir de memoria la demostración milenaria.

Hay algo profundamente conmovedor en esa escena: un hombre que espera la muerte y encuentra refugio en un fragmento de la ciencia helénica. Afuera estaban la guerra, los fusiles y la muerte; adentro, sobre la pared de un calabozo, se abría ante él un mundo de ideas puras, intangible, sereno, eterno, indiferente a nuestras miserias e invulnerable al sufrimiento.

Desde la época de Platón, los filósofos se han preguntado si ese mundo de las ideas existe por sí mismo o si es apenas una invención de nuestra mente. No pretendo resolver aquí una discusión que lleva más de 2.000 años. Pero hay algo que sí podemos decir: mucho antes de Euclides, mucho antes de los matemáticos y, acaso, mucho antes de que existieran seres humanos, la naturaleza ya había «descubierto» los números primos.

Las cigarras periódicas del este de Estados Unidos ofrecen un ejemplo fascinante. Pasan casi toda su vida bajo tierra, en estado de ninfa, alimentándose de las raíces de los árboles. Allí permanecen durante años, hasta que un día se activa un misterioso reloj biológico y emergen todas a la vez: torpes, ruidosas y desesperadas por aparearse. De pronto, salen por millones y parecen llenar el aire. El frenesí dura apenas unas semanas. Luego mueren, y una nueva generación vuelve a enterrarse para comenzar otra larguísima espera: 13 o 17 años.

Hay quienes han argumentado que esta estrategia dificulta la sincronización con sus depredadores. Un depredador cuyo ciclo reproductivo sea de dos, tres, cuatro, cinco o seis años tendría muchas menos oportunidades de hacer coincidir su aparición con la de una cigarra que emerge cada 13 o 17 años. La selección natural habría favorecido así, sin saber aritmética y millones de años antes de nosotros, ciclos que explotan una propiedad fundamental de los números primos. En este caso, no tener divisores propios mayores que 1 deja de ser una curiosidad matemática: puede convertirse en una ventaja para la supervivencia.

Euclides nos enseñó que los números primos son infinitos, pero su demostración no nos dice dónde encontrar el siguiente. Saber que siempre habrá otro es muy distinto de saber cómo hallarlo. Durante siglos, la búsqueda de primos cada vez mayores fue una empresa lenta, paciente, casi artesanal: había que examinar candidatos uno por uno y demostrar, mediante cálculos cada vez más laboriosos, que no poseían divisores propios. A medida que los números crecían, la dificultad aumentaba de manera formidable.

En 1876, el matemático francés Édouard Lucas demostró a mano que 2^127 − 1 — dos elevado a la potencia 127, menos uno — era primo. Tenía 39 cifras, una pequeñez comparada con los monstruos que conocemos hoy, pero constituía una hazaña extraordinaria para su época: durante 75 años conservó el récord del mayor número primo conocido.

El número de Lucas pertenecía a una familia muy especial: los llamados primos de Mersenne, números de la forma 2^p − 1 — dos elevado a un número primo p, menos uno — que, en ciertos casos, resultan ser primos. Deben su nombre a Marin Mersenne, monje y matemático francés del siglo XVII, amigo y corresponsal de algunas de las grandes figuras científicas de su tiempo, entre ellas Descartes y Fermat. Mersenne estudió estos números con particular empeño e intentó determinar cuáles eran primos. Se equivocó en algunos casos, pero su nombre quedó ligado para siempre al problema.

La llegada de las computadoras cambió por completo la escala de esa empresa. En 1952, una de las primeras computadoras electrónicas, el SWAC, encontró cinco nuevos primos de Mersenne. Décadas después, apareció GIMPS, un vasto proyecto de computación distribuida que aprovecha la potencia de miles de computadoras para continuar la búsqueda. En 1996, se encontró un primo de 420.921 cifras; en 2008, se superaron los 12 millones; y en 2018, se llegó a 24.862.048 cifras.

Y la historia no termina en esa fecha. En octubre de 2024, cuando el récord anterior llevaba casi seis años resistiendo, apareció un nuevo gigante: 2^136.279.841−1. Después de casi un año de búsqueda y una formidable cantidad de cálculos, el investigador informático Luke Durant, que utilizó miles de procesadores gráficos distribuidos en la nube, logró finalmente dar con él. Este primo tiene exactamente 41.024.320 cifras decimales: más de 40 millones de cifras. Es el mayor número primo conocido hasta la fecha y, como aquel modesto gigante de apenas 39 cifras descubierto por Lucas hace casi un siglo y medio, también pertenece a la familia de los primos de Mersenne.

Es difícil imaginar qué significa realmente un número de ese tamaño. Supongamos que quisiéramos imprimirlo en páginas corrientes, con unas 2.500 cifras por página. Harían falta más de 16.000 páginas: más de 16 volúmenes gruesos de 1.000 páginas cada uno. Ocuparían cerca de un metro de estantería, cubiertos de cifras de principio a fin. Y todo aquel océano de dígitos, desde la primera página del primer volumen hasta la última del último, no formaría una colección de números, sino un único número. Y ese número sería primo.

Pero si no disponemos de una fórmula sencilla que vaya generando los números primos, queda una pregunta más modesta: ¿podemos al menos estimar cuántos de ellos hay menores o iguales que un número fijado de antemano, x? Si x = 100, por ejemplo, podemos contarlos a mano: hay exactamente 25.

El problema cambia de escala cuando pasamos de cien a un millón, a un billón o a números de magnitud que escapa a nuestra imaginación. Contarlos uno por uno deja de ser una opción. Y aquí entra en escena Carl Friedrich Gauss, uno de los mayores genios de la historia de las matemáticas y, además, un prodigioso calculista.

Cuando apenas tenía 15 años, mucho antes de que existieran las computadoras, Gauss comenzó a contar primos a mano. Los agrupaba por millares, llenaba tablas y buscaba, en aquella sucesión que a primera vista parecía caprichosa, alguna regularidad oculta. Continuó haciéndolo durante años, dedicando incontables horas a prolongar esos cálculos. Detrás de esa paciencia casi obsesiva, había una intuición extraordinaria: aquel caos aparente tenía que esconder algún orden.

Hacia 1793, cuando apenas tenía 16 años, Gauss por fin alcanzó a entrever ese orden. Uno a uno, los primos fluctúan, se adelantan y se retrasan de manera anárquica. Pero si contemplamos ese universo a gran escala, emerge un patrón de extraordinaria precisión: la cantidad de primos menores que un número x es aproximadamente x/ln x —x dividido por el logaritmo natural de x—. Para decirlo sin tecnicismos, si x es una potencia muy grande de 10, basta dividir x por unas 2,3 veces su exponente. Tomemos un millón (10^6): la fórmula predice algo más de 72.000 primos. La cifra verdadera es 78.498.

Gauss dedicó un esfuerzo considerable a demostrar la ley que había intuido en su adolescencia. Jamás lo logró. Las matemáticas dan lecciones de humildad incluso a las mentes más brillantes. La prueba tendría que esperar hasta 1896, 41 años después de su muerte. Ese año, Jacques Hadamard y Charles de la Vallée Poussin, trabajando de manera independiente, lograron finalmente establecerla.

Mucho antes de ese hito histórico, en 1859, Bernhard Riemann, otro de los gigantes de las matemáticas, había encontrado una manera asombrosa de penetrar aún más en el misterio. Su célebre hipótesis afirma —dicho muy libremente y sin entrar en la formidable maquinaria matemática que hay detrás— que las desviaciones de los primos respecto a su comportamiento promedio están mucho mejor controladas de lo que su apariencia caótica permite sospechar. Los primos pueden apartarse de la ruta que Gauss había trazado para ellos, pero incluso sus desviaciones parecen obedecer a una disciplina secreta.

Hasta hoy, ninguna inteligencia, humana o artificial, ha logrado demostrar que Riemann tenía razón. El problema que planteó se conoce como la hipótesis de Riemann y es, probablemente, el problema sin resolver más famoso de las matemáticas.

Pero no hace falta llegar hasta Riemann para tropezar con misterios impenetrables. Los números primos plantean problemas elementales en su formulación que, sin embargo, han desafiado durante siglos a algunas de las mentes más brillantes. Tomemos los primos gemelos: parejas de primos separadas por apenas dos unidades, como 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31 o 41 y 43. ¿Existen infinitas parejas como estas? Nadie lo sabe.

O pensemos en una pregunta todavía más sencilla: ¿puede escribirse todo número par mayor que 2 como suma de dos números primos? Los ejemplos aparecen de inmediato: 4 = 2 + 2, 10 = 3 + 7, 28 = 11 + 17, 100 = 47 + 53. El 7 de junio de 1742, Christian Goldbach planteó a Leonhard Euler, en una célebre carta, una conjetura equivalente a esta. Casi tres siglos después, nadie ha logrado demostrarla. La llamamos conjetura de Goldbach. Hay algo profundamente desconcertante en que una pregunta que puede explicarse a un niño en menos de un minuto permanezca fuera del alcance de las matemáticas.

Hemos llegado a la Luna, aprendido a curar enfermedades que durante milenios significaron una sentencia de muerte, construido máquinas capaces de superar algunas de nuestras facultades y creado naves que algún día alcanzarán las estrellas. Sin embargo, aquellas marcas talladas hace más de 20.000 años sobre el hueso de un babuino ya parecen insinuar algunos de los enigmas que todavía nos desafían. Enigmas que caben en unas pocas palabras y que, después de miles de años de pensamiento, siguen allí, intactos, recordándonos que incluso las preguntas más sencillas pueden rozar los límites de la comprensión humana.